Свойства двойного интеграла ( 3 теоремы) 7 вопрос

16.1. Двойной интеграл.

16.1.1. Определение двойного интеграла. Теорема существования двойного интеграла. Пусть на плоскости Oxyзадана ограниченная замкнутая область D с кусочно-гладкой границей, и пусть на области D определена функция .

Разобьём область D произвольным образом на  подобластей  (не имеющих общих внутренних точек). Символом  будем обозначать площадь области ; символом  здесь и дальше будет обозначаться наибольшее расстояние между двумя точками, принадлежащими области D:

;

символом  обозначим наибольший из диаметров областей : .

В каждой из подобластей  выберем произвольную точку , вычислим в этой точке значение функции , и составим интегральную сумму .

Если существует предел последовательности интегральных сумм при , не зависящий ни от способа разбиения областиD на подобласти , ни от выбора точек , то функция  называется интегрируемой по области D, а значение этого предела называется двойным интегралом от функции  по области D и обозначается .

Если расписать значение  через координаты точки , и представить  как , получим другое обозначение двойного интеграла: . Итак, кратко, .

Теорема существования двойного интеграла. Если подынтегральная функция  непрерывна на области D, то она интегрируема по этой области.

16.1.2. Геометрический смысл двойного интеграла. Геометрический смысл каждого слагаемого интегральной суммы: если , то  - объём прямого цилиндра с основанием  высоты ; вся интегральная сумма  - сумма объёмов таких цилиндров, т.е. объём некоторого ступенчатого тела (высота ступеньки, расположенной над подобластью , равна ). Когда , это ступенчатое тело становится всё ближе к изображенному на рисунке телу, ограниченному снизу областью , сверху - поверхностью , с цилиндрической боковой поверхностью, направляющей которой является граница области , а образующие параллельны оси . Двойной интеграл  равен объёму этого тела.

16.1.3. Свойства двойного интеграла.

          16.1.3.1. Линейность. Если функции ,  интегрируемы по области , то их линейная комбинация  тоже интегрируема по области , и  .

Док-во. Для интегральных сумм справедливо равенство  . Переходя к пределу при  и пользуясь свойствами пределов, рассмотренными в разделе 4.4.6. Арифметические действия с пределами (конкретно, свойствами 4.4.10.1 и 4.4.10.2), получим требуемое равенство.

16.1.3.2. Аддитивность. Если область  является объединением двух областей  и , не имеющих общих внутренних точек, то .

Док-во. Пусть область  разбита на подобласти , область  разбита на подобласти . Тогда объединение этих разбиений даст разбиение области :  на  подобластей. Интегральная сумма по области  равна сумме сумм по областям  и : . Как и в предыдущем случае, переходя к пределу при , получим требуемое равенство.

16.1.3.3.Интеграл от единичной функции по области равен площади этой области: .

Док-во: Для любого разбиения , т.е. не зависит ни от разбиения, ни от выбора точек . Предел постоянной равен этой постоянной, поэтому .

16.1.3.4. Интегрирование неравенств. Если в любой точке  выполняется неравенство , и функции  интегрируемы по области , то .

Док-во. В любой точке  выполняется неравенство , поэтому . По теореме о переходе к пределу в неравенствах отсюда следует требуемое утверждение.