32. Теоретические и методические основы изучения первообразной и интеграла
Данная тема рассматривается в 10 главе учебника. Сначала дается понятие первообразной, правила нахождения первообразной.
Рассмотрим движение точки вдоль прямой. Пусть за время t от начала движения точка прошла путь s(t). Тогда мгновенная скорость v(t) равна производной функции s(t), т.е. v(t) = s ‘(t).
В практике встречается обратная задача: по заданной скорости движения точки найти пройденные ею путь, т.е. найти такую функцию s(t), производная которой равна v(t). s’ (t) = v(t) называют первообразной функции v(t).
Опр. Функция называется первообразной функции f(x) на некотором промежутке, если для всех х из этого промежутка F ’(x) = f(x).
Если F(x) является первообразной функции f(x) на некотором промежутке, то все первообразные функции f(x) записываются в виде F(x) + C, где С – произвольная постоянная.
Правила нахождения первообразных:
Пусть F(x) и G(x) – первообразные соответственно функций f(x) и g(x) на промежутке. Тогда:
1). Функция F(x)+/-G(x) является первообразной функции f(x)+/-g(x);
2). Функция aF(x) является первообразной функции af(x).
Дается определение интеграла и рассматривается вычисление площади криволинейной трапеции с помощью первообразной функции.
Р
ассмотрим
фигуру изображённую на рисунке. Эта
фигура ограничена снизу отрезком [a;
b]
оси Ох, сверху графиком непрерывной
функции y
= f(x),
принимающей положительные значения, а
с боков отрезками прямых x
= a,
x
= b.
Такую фигуру называют криволинейной
трапецией.
Площадь криволинейной трапеции можно вычислить по формуле S = F(b) – F(a), где F(x) – любая первообразная функции f(x).
Таким образом, вычисление площади криволинейной трапеции сводится к отысканию первообразной F(x) функции f(x), т.е. к интегрированию функции f(x).
Опр. Разность F(b) – F(a) называется интегралом от функции f(x) на отрезке [a; b]
и
обозначают так:
,
т.е.
В математических классах рассматривается применение производной и интеграла к решению практических задач.
Доказательств в теме очень мало и все их следует сопровождать подробными иллюстрациями с помощью графика функции. Перед введением понятия первообразной следует повторить связь между графиками функции у=х^3, y=x^3+1, y = x3 – 2, а также выполнить задание вида: график функции y=2x+b
проходит через точку (-3, 6). Найдите b.
Далее дается задание заполнить таблицу (мотивация)
F(x) |
f(x) = F’(x) |
y(x)=f’(x) |
cos x |
|
|
|
6x5 |
|
|
|
1/2 |
Учащиеся легко заполняют те клетки, где нудно найти производную, но затрудняются в заполнении других клеток.
- На практике часто приходится решат задачу, обратную нахождению производной. Например, по заданной линейной скорости найти путь (геометрический смысл производной). Вводиться определение первообразной. Доказывается, что одна и та же функция имеет бесконечно много первообразных, отличающихся только на постоянное число. Поэтому часто ставиться задача указать первообразную функции, график которой проходит через заданную точку. Графики всех первообразных одной и той же функции получаются друг из друга с помощью сдвига вдоль оси Оу. Таблица первообразных получается из таблицы производных.
Особое внимание следует уделить теме вычисление площадей с помощью интегралов.
