14. Теоретические основы изучения логарифмической функции. Методика введения понятия логарифма

Ядром изучаемой темы является понятие логарифма и логарифмической функции, которая относится к числу элементарных.

Сначала даётся определение логарифма, основное логарифмическое тождество, рассматриваются свойства логарифма. Выделяются два основных вида логарифмов – десятичные и натуральные, формула перехода от логарифма по одному основанию к логарифму по другому основанию. Устанавливается тот факт, что достаточно только десятичных и натуральных логарифмов, чтобы находить логарифмы чисел по любому основанию.

В данной теме рассматривается новое действие над числами - логарифмирование. Оно является обратным к действию возведения в степень.

Исследование логарифмической функции проводится в соответствии с ранее введённой схемой. Проводится обзор свойств этой функции в зависимости от значения параметров. На примерах показательной и логарифмической функций вводится понятие обратной функции. Раскрывается роль логарифмической функции, как функции обратной к показательной.

Учащиеся уже знакомы со степенной и показательной функции, таким образом, они уже имеют представление о функции как таковой. Степенная и показательная функции основывались на понятии степени с рациональным и действительным показателем. Поэтому изученное ранее понятие логарифма дало основу для введения понятия логарифмической функции. Приступая к введению понятия логарифмической функции необходимо вспомнить определение логарифма и основные логарифмические тождества. При открытии свойств логарифмической функции необходимо провести аналогию с открытием свойств показательной функции.

Серьёзное внимание следует уделить работе с основными логарифмическими тождествами. Рассматриваются логарифмические уравнение и неравенства, для решения которых необходимо усвоить понятие логарифма и его свойства, а также понятие логарифмической функции и её свойства. При решении логарифмических уравнений появляется настоятельная необходимость введения понятий следствия и равносильности. Именно здесь эти понятия и вводятся.

Основная цель - познакомить учащихся с логарифмической функцией и ее свойствами, научить решать несложные логарифмические уравнения и

неравенства, их системы.

При решении логарифмических уравнений используются следующие общие методы решения уравнений:

- метод введения новой переменной,

- функционально-графический метод,

- разложение на множители. Отметим, что решение любого логарифмического уравнения сводится к решению простейшего уравнения одного из двух видов:

1). , 2).

Кроме общих методов можно выделить и специальные методы решения логарифмических уравнений:

Логарифмирование. Это преобразование заключается в переходе от уравнения f(x)=g(x) к уравнению , если f(x)>0.

- Применение основного логарифмического тождества. Данное преобразование основано на переходе от уравнений к уравнению-следствию f(x)=h(x).

- Переход к новому основанию логарифма, используя формулу: , a>0, a≠1, b>0, c>0, c≠1. Здесь возможна потеря корней.

- Применение свойств логарифмов.

При решении логарифмических неравенств применяются те же методы, что и при решении логарифмических уравнений. Поэтому логарифмические уравнения и неравенства целесообразно изучать методом укрупнения дидактических единиц. Среди логарифмических неравенств особое место занимают неравенства, содержащие переменную в основании логарифма, поскольку решение таких неравенств вызывает определенные трудности у школьников. Наиболее распространенный способ решения этих неравенств заключается в рассмотрении двух случаев: 1) основание больше единицы; 2) основание положительно и меньше единицы.

В конце изучения данной темы на уроке систематизации и общения целесообразно составить систематизирующую таблицу, в которой отражалась бы вся логическая цепочка, по которой происходило изучение данной темы.

Задачный материал данной темы можно разделить на три основных блока.

1. Задачи на нахождение значения лог. выражений и тождественные преобразования.

Ключевыми задачами этого блока являются:

- вычислить:

- вычислить:

- вычислить:

2. Задачи на исследование логарифмической функции и построение ее графика.

Ключевыми задачами этого блока являются, например:

- Сравнить числа и

- Изобразить схематически график функции

- Исследовать на монотонность функцию

3. Задачи на решение уравнений (неравенств) и их систем.

Как правило, решение логарифмического уравнения сводится к решению простейшего уравнения одного из следующих видов:

-

-

-

Ключевыми задачами к этим трем видам логарифмических уравнений будут, например, следующие задания:

1). Решите уравнение

2). Решите уравнение

3). Решите уравнение

Учебная задача:

- раскрыть операцию логарифмирование как операцию обратную потенцированию;

- формировать у учащихся представление о логарифмической функции, как модели процессов реальной действительности;

- выявить в совместной деятельности с учащимися основные способы решения логарифмических уравнений и неравенств различных типов.

Диагностируемые ели: В результате урока ученик:

Знает: опр. логарифма, свойства логарифмов, действие логарифмирования, опр. десятичного и натурального логарифма, свойства логарифмов, основу доказательства свойств; определение лог. функции, формулировку свойств логарифмической функции, формулировку теоремы о монотонности лог. функции, как выглядит и строится график лог. функции; типы лог. уравнений и неравенств, методы и способы их решения.

Понимает: связь между действием логарифмирования и потенцирования; аналогию свойств логарифмической функции со свойствами показательной функции; роль теорем о равносильности уравнений (неравенств), какие преобразования могут привести к потере корней, а какие к приобретению посторонних корней;

Умеет: выполнять преобразования выражений, содержащих логарифмы, на основе определения и свойств логарифма, основного логарифмического тождества; определять значение функции по значению аргумента при различных способах задания функции, строить графики логарифмических функций, выполнять преобразования графиков, описывать по графику и по формуле поведение и свойства функций; решать логарифмические уравнения и неравенства, используя как специальные методы: логарифмирование, применение основного логарифмического тождества и свойств логарифма, переход к новому основанию логарифма, так и общие методы решения уравнений и неравенств: метод введения неизвестного, функционально-графический метод, метод разложения на множители.

Тема урока «Понятие логарифма. Свойство суммы логарифмов»

Тип урока: урок изучения нового

Средства обучения: мел, доска, учебник

Учебные задачи урока: ввести действие лог-ния как обратное потенцированию.

Диагностируемые цели:

В результате изучения темы ученик:

- знает: опр. логарифма числа, основное лог. тождество, опр. действия лог-ния, свойство суммы логарифмов

- умеет: вычислять логарифм числа по опр., формулировать и доказывать свойство суммы логарифмов, применять полученные теоретические знания при решении соответствующих практических задач.

- понимает: связь между действием возведения в степень и лог-нием; что опр. и свойство суммы логарифмов можно применять в обе стороны при некоторых определенных условиях.

Методы урока: проблемное изложение, частично-поисковый.

Формы работы: фронтальная

Структура урока: 1 – 10 минут; 2. -30 минут; 3. – 5 минут