- •Билет 19 поверхностный интеграл.
- •Билет 20 вычисление поверхностного интеграла.
- •Билет 21. Формула остроградского
- •Билет 22. Понятие дифф уравнения, общее решение, задача коши
- •3.5.1. Понятие дифференциального уравнения
- •Задача Коши
- •Билет 23. Понятие дифа 1го порядка, уравнения с разделяющимися переменными.
- •Решение. Разделим переменные
- •Интегрируем обе части, полученного равенства
- •Возвращаясь к переменной у , получаем
- •Билет 24. Однородные уравнеиня 1го порядка
Билет 19 поверхностный интеграл.
Пусть в каждой точке гладкой ориентированной простой поверхности σ определена векторная функция:
(M) = P(M) + Q(M) + R(M) с непрерывными проекциями P, Q, R.
Разобьём поверхность σ произвольным образом на элементарные части ∆σ1, ∆σ2,…∆σn с диаметрами: d1, d2, …dn. Наибольший из диаметров обозначим через dM. На каждом элементе возьмем произвольную точку MK и составим интегральные суммы вида: (1)
0(Mk)-единичный вектор нормали к поверхности в точке Мk.
Обозначим через αk, βk и γk углы, образуемые вектором 0(Mk) с осями координат (направляющие углы). Тогда:
0(Mk) = cos αk + cos βk + cos γk и
( (Mk), 0 (Mk)) =
=P(Mk) cos αk + Q(Mk) cos βk + R(Mk) cos γk
Интегральная сумма (1) распадается на три однотипные суммы:
Jn = [P(Mk) cos αk +Q(Mk) cos βk +R(Mk) cos γk ]∆σK =
= JnI + JnII + JnIII . (2)
Если существует предел интегральных сумм (1) при dM→0, не зависящий ни от способа разбиения поверхности на части, ни от выбора промежуточных точек МК, то он называется поверхностным интегралом второго рода от векторной функции = {P, Q, R,} по выбранной стороне поверхности.
Обозначается:
( (Mk), (Mk))∆σk =
= ( (MK), (MK))∆σK (3)
или [P(хk, yk, zk) cos αk + Q(хk, yk, zk ) cos βk +
+ R(хk, yk, zk ) cos γk] = [P(хk, yk, zk) cos αk +
+ Q(хk, yk, zk ) cos βk + R(хk, yk, zk ) cos γk] dσ (4)
Свойства поверхностных интегралов:
1. Из определения поверхностного интеграла следует, что если изменить ориентацию поверхности, то + заменится на -, а т.к. + = - , то и поверхностный интеграл изменит знак на противоположный;
( , +)dσ = - ( , )dσ
2. Если поверхность σ разбить на части σ1 и σ1, то:
( , )dσ = ( , )dσ + ( , )dσ
Остальные свойства поверхностных интегралов также совершенно аналогичны свойствам всех интегралов.
Замечание 1: Поверхность σ может быть замкнутой. В этом случае, обычно выбирают внешнее направление нормали, а интеграл обозначается;
( , )dσ
Замечание 2: Так как cosγ dσ = dxdy, cosβ dσ = dxdz, cosγdσ = dydz – проекции элемента поверхности на соответствующие координатные плоскости, то (4) можно записать в виде:
( (M), (M))dσ = (Pdydz + Qdxdz + Rdxdy) (5)
(проекции положительны, если углы α, β, γ – острые, если они тупые, то проекции отрицательны).
Поверхностный интеграл (4) или (5) можно рассматривать как сумму трёх соответствующих простых интегралов от функций P, Q, R:
[Pcosα + Qcosβ + Rcosγ]dσ =
= Pcosαdσ + Qcosβdσ + Rcosγdσ (6)
Обозначим: Pcosαdσ = J1, Qcosβdσ = J2,
Rcosγdσ = J3
Каждый из интегралов в правой части является пределом своей
частной интегральной суммы в (2).
Пусть, например, поверхность σ такая, что каждая прямая параллельная оси Oz пересекает ее только в одной точке. Тогда её уравнение можно записать в виде: z = ƒ(x,y), где (x,y) D1, а D1, – проекция поверхности σ на плоскости Oxy. Тогда:
J3 = R(x, y, z)cosγdσ =
= R(xk,yk,zk) cosγkΔσk
= R(xk,yk,zk)Δ Sxy(k) =
= ± R[xk,yk, ƒ(xk,yk )]| Sxy(k)) | ;
Так как zk = ƒ(xk,yk ) и Δ Sxy(k)=cosγk Δσk
Знак (-) берут тогда, когда угол γk тупой (cosγk<0)( нормаль к поверхности с осью Оz образует тупой угол), а знак (+) когда этот угол острый (cosγk>0).
dM - максимальный диаметр частичных областей ∆σ1, ∆σ2…∆σn поверхности σ, а d'M - максимальный диаметр частичных областей с площадями ΔS1, ΔS2,…ΔSn области D1 на плоскости Оху. Если d'M→0, то и dM→0 (поверхность гладкая).
Полученная сумма является интегральной для двойного интеграла от функции двух переменных R[x,y, ƒ(x,y )]по области D1. Таким образом,
Поверхностный интеграл выражен через двойной. Для вычисления интеграла J2 надо уравнение поверхности σ разрешить относительно y: y = φ(х, z), а поверхность σ проектировать на плоскость Охz (обл D2):
А для вычисления интеграла J3 уравнение поверхности представляем в виде x = ψ(y, z), а поверхность проектируем на плоскость Oyz (обл. D3):
Знаки (+) берут если углы β и α острые, если тупые то берут (-).
Замечание1: интеграл (6) можно свести к двойному, выразив направляющие косинусы и dσ с помощью уравнения поверхности.
Замечание 2. Если поверхность σ не является простой или гладкой, то её разбивают на участки, являющиеся простыми и гладкими.