3.4. Порядок расчета переходных процессов операторным методом

Расчет состоит из трех этапов.

Первый этап – переход от оригинала к изображению. Используется прямое преобразование Лапласа исходных данных задачи (уравнений электрического состояния цепи, законов изменения во времени действующих на цепь источников, начальных условий). Составляется операторная схема замещения цепи после коммутации (см. раздел 3.1-3.3).

Второй этап – определение изображения искомой функции (тока или напряжения). Он связан с чисто алгебраическими преобразованиями полученных уравнений.

Третий этап – определение оригинала искомой функции с помощью формулы обратного преобразования Лапласа или вытекающих из нее соотношений. Этот этап может осуществляться двумя способами:

Первый способ – с применением формул соответствия между функциями оператора p и функциями времени, которые приведены в литературе [1-3].

Второй способ перехода от изображения к оригиналу состоит в применении формулы разложения, т.к. изображение искомого тока или напряжения можно представить в виде рациональной дроби

, (3.15)

где M > N, степень знаменателя M больше степени числителя N.

19

свободной составляющей, а принужденная составляющая равна нулю:

. (2.23)

Поскольку , то и, следовательно,

. (2.23’)

Если к зажимам индуктивной катушки подключен элемент с большим сопротивлением, например вольтметр с сопротивлением (рис. 2.9), то на его зажимах в момент коммутации возникает напряжение во много раз больше напряжения источника питания, что может вывести вольтметр из строя, если это напряжение окажется больше напряжения пробоя изоляции проводов катушки вольтметра.

Если параллельно индуктивной катушке ничего не включено, то отключение ее от источника напряжения может сопровождаться возникновением дуги между контактами, разрывающими цепь. Это объясняется тем, что в соответствии с первым законом коммутации ток стремится в момент коммутации сохранить свою величину. При разработке электрокоммутационной аппаратуры в ней предусматриваются специальные дугогасящие устройства. В ряде случаев для предотвращения дуги индуктивную катушку специально шунтируют резистором.

2.5. Переходные процессы в цепях с последовательным соединением индуктивной катушки, резистора и конденсатора

Р

12

ассмотрим цепь разряда конденсатора с емкостью С на индуктивную катушку с индуктивностью L и сопротивлением r (рис. 2.10). Для этой цепи и напряжение на конденсаторе при переходном процессе

В соответствии с приведенными выше выражениями получим изображение напряжений на индуктивности и емкости

, т.е.

≓ , (3.8)

, т.е.

≓ , (3.9)

где - значение тока через индуктивность при t=0, - значение напряжения на емкости при t=0.

3.2. Закон Ома в операторной форме

Для участка цепи, изображенного на рис. 3.1, запишем выражение для напряжения (a и b – узлы).

. (3.10)

К

17

уравнению (3.10) применим преобразование Лапласа. Каждое слагаемое заменим операторным изображением, т.к. преобразование Лапласа является линейным.

≓ ; ≓ .

В зависимости от соотношения параметров r, L и С цепи возможны три типа переходных процессов.

1. Если , т.е. сопротивление в цепи относительно мало, то корни характеристического уравнения являются сопряженно комплексными

, (2.32)

где и .

Подставляя в (2.25) значения и и производя преобразования, связанные с заменой полусумм и полуразностей экспонент от мнимого аргумента через тригонометрические функции, получим

, (2.33)

где .

В

14

ыражение (2.33) описывает затухающие колебания с угловой частотой и с коэффициентом затухания . График изменения напряжения в этом случае изображен на рис. 2.11.

2. Если , т.е. сопротивление в цепи относительно велико, то корни характеристического уравнения (2.26) вещественны и напряжение ,

определяемое выражением (2.25), будет изменяться по экспоненциальному закону. Это означает, что изменение напряжения на конденсаторе в этом случае будет иметь апериодический характер.

3. Если , то корни характеристического уравнения (2.26) одинаковы и вещественны . Выражение для напряжения на конденсаторе при указанном соотношении параметров имеет вид:

. (2.34)

Это соответствует предельному случаю апериодического переходного процесса в рассматриваемой электрической цепи.

Если разряд конденсатора на индуктивную катушку имеет колебательный характер, то подключив последовательно к ней переменный резистор, можно изменением величины сопротивления резистора добиться апериодического (экспоненциального) закона изменения напряжения на конденсаторе при его разряде.

15