- •Содержание
- •Глава 1. Некоторые общие вопросы обучения математике в школе 7
- •Глава 2. Теоретические основы формирования математической деятельности учащихся на уроке математики 40
- •Глава 3. Математические понятия. Формирование математических понятий в школе 56
- •Глава 4. Теоремы и их доказательства 85
- •Глава 5. Задачи 129
- •Предисловие
- •Глава 1. Некоторые общие вопросы обучения математике в школе
- •1.1. Цели обучения математике. Принципы обучения
- •1) Значение математического образования в жизни человека.
- •2) Цели обучения математике в школе.
- •3) Цели обучения как системообразующий фактор процесса обучения.
- •4) Принципы обучения.
- •1.2. Содержание школьного курса математики. Программа по математике
- •1.3. Язык школьной математики. Развитие речи учащихся
- •1) О структуре математического языка.
- •2) Развитие речи учащихся в процессе обучения математике.
- •1.4. Развитие познавательного интереса к математике
- •1) Развитие познавательного интереса к изучению математики.
- •2) Мотивация деятельности учащихся на уроке.
- •1.5. Анализ содержания пункта учебника и системы упражнений к нему
- •1) Анализ содержания обучения как основа конструктивно-проектировочной деятельности учителя.
- •2) План анализа некоторой темы школьного курса математики (пункта учебника).
- •1.6. Планирование целей урока математики
- •1) Планирование целей урока математики.
- •2) Образовательные цели урока математики.
- •3) Развивающие цели урока математики.
- •4) Воспитательные цели урока математики.
- •1.7. Проект и конспект урока математики. Анализ урока математики
- •1) Проект и конспект урока.
- •2) Схема анализа урока математики (его фрагмента).
- •Глава 2. Теоретические основы формирования математической деятельности учащихся на уроке математики
- •2.1. Учебно-познавательная деятельность учащихся на уроке, её структура
- •1) Учебно-познавательная деятельность, её структура.
- •2) Умения и навыки как результат овладения деятельностью. Теоретические основы формирования умений и навыков.
- •2.2. Типовой проект формирования математического действия
- •1) О типовом проекте формирования нового математического действия.
- •Типовой проект формирования нового действия
- •2) Алгоритм как оод. Алгоритмическая деятельность.
- •2.3. Упражнения как средство формирования нового математического действия. Требования к проектированию системы упражнений
- •1) Упражнение. Система упражнений.
- •2) Система упражнений, направленная на формирование нового действия.
- •2.4. Анализ пункта учебника, в котором вводится новое действие, и системы упражнений к нему
- •Глава 3. Математические понятия. Формирование математических понятий в школе
- •3.1. Сущность категории «понятие»
- •1) Роль и функции понятий в мышлении.
- •2) Трактовка категории «понятие» в психологии.
- •3) Процесс образования научных понятий.
- •3.2. Логическая структура математического понятия. Свойства и признаки понятия
- •1) О структуре математического понятия.
- •2) Логическая схема понятия.
- •3) Свойства и признаки понятия.
- •4) Необходимые и достаточные условия.
- •3.3. Основные этапы формирования понятия
- •Характеристика этапов
- •3.4. Некоторые подходы к введению нового математического объекта
- •1) Конкретно-индуктивный подход.
- •2) Абстрактно-дедуктивный подход.
- •3) Исследовательский подход.
- •4) Пример применения каждого из подходов к введению одного и того же математического объекта.
- •5) Достоинства и недостатки каждого из подходов.
- •3.5. Теоретические основы изучения определения математического объекта (понятия)
- •1) О сущности определений.
- •2) Структура определений.
- •3) Определяющий признак, его структура.
- •4) Следствия из определения.
- •5) Отрицание определения.
- •6) Определения рабочие и нерабочие.
- •7) Эквивалентные определения.
- •3.6. Типовой проект введения нового математического объекта и изучения его определения
- •1) Анализ определения.
- •Типовой проект введения нового объекта и изучения его определения
- •3.7. Уровни усвоения математического понятия
- •1) Усвоение понятия: что это такое?
- •2) Уровни усвоения математического понятия.
- •Глава 4. Теоремы и их доказательства
- •4.1. Теоретические основы изучения теорем
- •1) Импликативные теоремы: виды, способы доказательства, краткая запись.
- •2) Основные способы доказательства истинности импликативных утверждений.
- •3) Теоремы общего вида.
- •4) Теоремы существования.
- •5) Теоремы единственности.
- •4.2. Дедуктивные рассуждения в обучении математике. Другие виды рассуждений
- •1) Рассуждения, структура рассуждений.
- •2) Дедуктивные рассуждения.
- •3) Недедуктивные рассуждения.
- •3) Анализ и синтез в процессе поиска доказательства теоремы.
- •4) Эвристическая беседа. Требования к системе вопросов учителя.
- •4.3. Доказательство, его структура. Анализ теоремы и её доказательства
- •1) Понятие «доказательство». Структура доказательства.
- •2) Требования к процессу доказательства математических утверждений.
- •3) План анализа теоремы.
- •4) План анализа доказательства теоремы.
- •4.4. Типовой проект изучения теорем и их доказательств
- •1) Типовой проект изучения теоремы и её доказательства.
- •Типовой проект изучения теоремы и её доказательства
- •2) Подготовительный этап.
- •3) Работа над содержанием теоремы.
- •Работа по изучению содержания теоремы в зависимости от её вида
- •3)Требования к построению чертежа по условию теоремы.
- •4.5. Характеристика этапов изучения доказательства теоремы
- •1) Поиск доказательства теоремы.
- •2) Доказательство теоремы.
- •3) Запись доказательства.
- •4) Применение теоремы.
- •5) Возможные обобщения теоремы, её включение в систему знаний.
- •4.6. Методические рекомендации по изучению теорем о свойствах и признаках понятий. Исследовательский подход к изучению свойств и признаков
- •1) Теорема о свойстве понятия.
- •2) Теорема о признаке понятия.
- •3) Исследовательский подход к изучению нового математического объекта, его свойств и признаков.
- •4.7. Различные формулировки одной и той же теоремы
- •1) Значение переформулировки теорем в процессе обучения математике.
- •2) Основные формулировки одной и той же теоремы.
- •Глава 5. Задачи
- •5.1. Теоретические сведения о задачах
- •1) Понятие «задача». Структура задачи.
- •2) Классификации задач.
- •3) Процесс решения задачи.
- •4) Основные требования к решению задачи.
- •5) Условия, способствующие формированию умения решать задачи:
- •6) Роль и функции задач в обучении.
- •5.2. Задача как объект изучения. Типовой проект работы над задачей
- •1) Типовой проект работы над задачей.
- •Типовой проект работы над задачей
- •3) Поиск решения задачи.
- •4) Запись решения задачи.
- •6) Анализ решения задачи. Обобщение результатов задачи.
- •5.3 Сюжетные задачи. Арифметический метод их решения
- •1) Что такое «сюжетная задача»?
- •2) Особенности решения сюжетных задач.
- •3) Характеристика арифметического способа решения сюжетных задач.
- •4) Задачи «на уравнивание».
- •5.4. Алгебраический метод решения сюжетных задач
- •1) Характеристика алгебраического метода решения сюжетных задач.
- •2) Некоторые рекомендации по решению задач алгебраическим методом.
- •3) Задачи «на движение».
- •4) Задачи «на работу».
- •Итоговый тест
- •Список литературы
- •Владимирцева Светлана Александровна теоретические основы изучения содержания школьной математики
- •656049, Г. Барнаул, пр-т Социалистический, 85,
1.2. Содержание школьного курса математики. Программа по математике
Содержание школьного курса математики определяется Программами для средней школы [57]. Программа является основным документом, которым руководствуется учитель в своей работе. На её основе осуществляется тематическое и поурочное планирование процесса обучения.
Ядро школьного математического образования составляют следующие содержательные линии:
Числа и вычисления.
Выражения и их преобразования.
Уравнения и неравенства.
Функции.
Геометрические фигуры и тела, их свойства. Измерение геометрических величин.
Начала математического анализа.
Наряду с содержательными линиями можно выделить методологические линии, в которых содержание прослеживается с точки зрения развития общих методологических понятий и идей, а именно: математические методы и приёмы рассуждений; математический язык; математика и внешний мир; история математики.
В связи с развитием науки и техники, с изменением потребностей общества содержание школьной математики расширяется. Так в последние годы в новых учебниках нашли отражение элементы математического моделирования, некоторые вопросы комбинаторики, теории вероятностей и математической статистики. Как же обеспечить качественное усвоение материала, если время, отведённое на изучение математики, остаётся неизменным или даже сокращается? Это достигается, прежде всего, за счёт совершенствования методов и средств обучения, а также за счёт генерализации (обобщения) изучаемых понятий и фактов.
Программа по математике имеет 3 раздела.
Первый раздел – «Объяснительная записка».
В ней раскрывается роль математики в современном мире, формулируются цели и задачи обучения математике, излагается структура школьного курса математики.
Систематическое изучение математики начинается с 5-ого класса и продолжается до окончания школы. Выделяется две ступени обучения: основная школа (5-9-й класс) и старшая школа (10-11-й класс). В 5-6-ых классах учебный предмет называется «Математика», с 7-го класса – «Алгебра» и «Геометрия», с 10-го класса – «Алгебра и начала математического анализа» и «Геометрия». В объяснительной записке сформулированы цели изучения каждого предмета.
Второй раздел – «Требования к математической подготовке учащихся».
По каждой из содержательных линий здесь перечислены основные умения, которыми должны овладеть школьники. Например, по линии «Выражения и их преобразования» для основной школы в Программе выдвигаются следующие требования:
«В результате изучения курса математики учащиеся должны:
правильно употреблять термины «выражение», «тождественное преобразование», понимать их в тексте, в речи учителя, понимать формулировку заданий: «упростить выражение», «разложить на множители»;
составлять несложные буквенные выражения и формулы; осуществлять в выражениях и формулах числовые подстановки и выполнять соответствующие вычисления; выражать одни переменные через другие;
выполнять действия со степенями с натуральным и целым показателями, многочленами, алгебраическими дробями; выполнять разложение многочленов на множители вынесением общего множителя за скобки, применением формул сокращённого умножения;
выполнять преобразования числовых выражений, содержащих квадратные корни» [57, с. 12].
Третий раздел – «Содержание обучения».
В этом разделе задаётся минимальный объем знаний, обязательных для изучения в школе. Содержание излагается в соответствии со ступенями обучения и содержательными линиями. В старшем звене перечень знаний приводится в соответствии с количеством часов изучения математики в неделю. В последние годы в программе появился четвёртый раздел: «Тематическое планирование». Он ориентирован на основные действующие учебники. Здесь содержание излагается в том порядке, который принят в конкретном учебнике, то есть не по содержательным линиям, а по темам. По каждой теме указывается количество часов, отведённых на её изучение.
Очевидно, что в процессе обучения математике учащиеся не только овладевают знаниями, но и приобретают умения осуществлять математическую деятельность.
Уровень усвоения математических умений (его ещё называют уровнем обученности) определён в другом документе, обязательном для исполнения учителем. Этот документ называется «Учебные стандарты школ России. Государственные стандарты начального общего, основного общего и среднего (полного) общего образования» [72]. В нём перечислен обязательный минимум умений и навыков, которыми должен овладеть каждый ученик, приведены примеры упражнений и задач, которые он должен научиться решать.
В 2011-12 г. будет осуществлён переход на новые учебные стандарты, начиная с 1-го класса школы. В некоторых регионах России в качестве эксперимента с 7-го класса изучается учебный предмет «Математика», который объединяет алгебру, геометрию и начала математического анализа. Также осуществляется переход к профильной школе, когда все учащиеся старшей школы выбирают профиль обучения в соответствии с выбранной будущей профессией или специальностью. В соответствии с грядущей реформой школьного образования должны появиться и новые документы, регламентирующие работу школы и учителя.