- •Что такое теория игр? Специфика задач теории игр.
- •Понятие игры. Классификация игр.
- •Парные матричные игры с нулевой суммой.
- •Чистые стратегии, платежная матрица, верхняя и нижняя цена игры.
- •Седловая точка. Решение игры в чистых стратегиях.
- •Смешанные стратегии. Цена игры.
- •Решение матричной игры сведением к задаче линейного программирования.
- •Игры с природой. Специфика игр с природой.
Парные матричные игры с нулевой суммой.
Элементы матрицы могут быть положительными, отрицательными или равными нулю. Случай, когда элемент матрицы положителен, означает, что игрок В в определенной ситуации должен уплатить игроку А сумму, равную значению этого элемента. Если элемент отрицателен, игрок А уплачивает игроку В сумму, равную абсолютному значению этого элемента. И, наконец, если этот элемент равен нулю, выплаты не производятся. Таким образом в игре двух лиц с нулевой суммой один игрок выигрывает столько же, сколько проигрывает другой (все выплаты производятся из “карманов” противников) Это и объясняет название – игра с нулевой суммой. Игрок А стремится к максимальному выигрышу, игрок В - к минимальному проигрышу. Решить игру – значить найти оптимальные стратегии игроков и их выигрыши.
Данная форма представления конечных игр двух лиц объясняет общее для них название – матричные игры.
Чистые стратегии, платежная матрица, верхняя и нижняя цена игры.
Чистая стратегия – конечное число возможных действий игрока.
Игрок А может выбрать любую стратегию в ответ игрок В может выбрать любую свою чистую стратегию Выбор пары стратегий однозначно определяет результат выигрыш игрока А. При этом проигрыш игрока В составляет . Если известны значения - выигрыши для каждой пары чистых стратегий, то можно составить матрицу выигрышей игрока А (проигрышей игрока В). Эту матрицу называют платежной.
|
Стратегия 1 игрока 2 ( ) |
Стратегия 2 игрока 2 ( ) |
……………. |
Стратегия n игрока 2 ( ) |
Стратегия 1 игрока 1 ( ) |
|
|
……………. |
|
Стратегия 2 игрока 1 ( ) |
|
|
……………. |
|
………….. |
………….. |
……………. |
……………. |
……………… |
Стратегия m игрока 1 ( ) |
|
|
……………. |
|
Введем в рассмотрение числа
- минимально возможный выигрыш игрока А, если он применит стратегию и - максимально возможный проигрыш игрока В, если он применит стратегию .
Тогда платежная матрица будет иметь следующий вид:
Игрок 2 Игрок 1 |
Стратегия 1 ( ) |
Стратегия 2 ( ) |
………… |
Стратегия n( ) |
Минимум по строкам |
Стратегия 1 ( ) |
|
|
…………. |
|
|
Стратегия 2 ( ) |
|
|
…………. |
|
|
………….. |
…………… |
…………. |
…………. |
…………… |
………….. |
Стратегия m( ) |
|
|
…………. |
|
|
Максимум по столбцам |
|
|
…………. |
|
|
Игрок А выберет такую стратегию, которая гарантирует ему наибольший из наименьших выигрышей при любой стратегии противника (максиминный выигрыш). Этот выигрыш определяется формулой .Величина называется нижней чистой ценой игры, а соответствующая ему чистая стратегия - максиминная стратегия.
игрок В, действуя рационально, выберет такую стратегию, которая гарантирует ему наименьший из возможных проигрышей при любых действиях противника. Принято говорить, игрок В руководствуется принципом минимаксного проигрыша. Этот проигрыш определяется выражением . Величину называют верхней чистой ценой игры, а соответствующую ему чистую стратегию – минимаксной стратегией. Принцип осторожности, который определяет выбор партнерами стратегий, соответствующий максиминному выигрышу или минимаксному пригрышу, часто называют принципом минимакса.
Для любой игры с нулевой суммой чем и объясняются названия “нижняя цена” и “верхняя цена”.