§ 107. Изменение давления поперек трубок тока

При определении давления в трубке тока (§ 100) мы полагали, что давление остается постоянным в любом поперечном сечении трубки. Там принималось во внимание среднее давление по попе­речному сечению не только потому, что трубка — очень небольшого

¹) Как уже было сказано в § 105, при скорости, меньшей 130 м/с, ошибка, которую мы сделали, полагая воздух несжимаемым, меньше 2%.

367

сечения, но и потому, что определялось ускорение частицы только вдоль оси трубки.

Если трубка тока прямолинейна в данном месте, т. е. осевая линия трубки представляет собой прямую линию, то частица жид­кости может иметь ускорение только в направлении оси трубки, поэтому давление должно быть одинаковым в любом сечении у про­тивоположных стенок трубки и, следовательно, точно одинаковым по всему поперечному сечению. В тех же местах, где осевая линия трубки искривляется, давление в поперечном сечении не может быть постоянным. Действительно, частица, двигающаяся по искрив­ленной трубке тока, обладает центростремительным ускорением v²/R,

где R — радиус закругления осевой линии трубки (рис. 295). Поэтому на частицу должна действовать сила, располо­женная в плоскости за­кругления и направленная перпендикулярно к линии тока, сила, равная

где S — площадь сечения трубки, a ds — длина ча­стицы жидкости.

Такую силу может соз­дать только давление окружающих слоев текущей жидкости. Поэтому и должна быть разность давлений на сторонах трубки то­ка в плоскости закругления. Эту разность давлений можно очень просто вычислить, если положить, что сечение трубки имеет вид прямоугольника со сторонами h и а, S=ah. Тогда по второму за­кону динамики в направлении, перпендикулярном к линии тока, можно записать:

(107.1) Сокращая на ah ds, получаем

(107.2)

Если трубка тока достаточно тонкая, то (p₁-p₂)/h можно заменить на дp/дR и формулу (107.2) можно переписать так:

(107.3)

Рис. 295.

368

Это равенство означает, что давление изменяется поперек трубок

тока, когда они искривляются, причем падение давления дp/дR про­исходит к центру закругления оси трубки.

Например, при обтекании тела (см. рис. 293) давление в точке D должно быть больше, чем в точке Е, и, наоборот, в N должно быть больше, чем в М. Следовательно, по искривлению линий тока всегда можно сделать определенные заключения об изменении дав­ления в направлении, перпендикулярном к линиям тока, ибо частицы могут искривить свой путь только при наличии определен­ной . разности давлений.

Так как давление на поверхность тела определяет силы, дей­ствующие на тело со стороны потока, то анализ изменения дав­ления поперек трубок тока позволяет сделать ряд полезных за­ключений о силах, действующих на тело, находящееся в потоке жидкости и газа.

§ 108. Распределение давления во вращающейся жидкости

Размешивая чай в стакане, можно наблюдать поверхность вращающейся жидкости — она принимает параболическую форму. Представим себе стакан или другой цилиндрический сосуд на диске центробежной машины (рис. 296).

Если диск вращается с угловой скоростью со, то через некото­рое время все частицы жидкости будут двигаться по окружности так, что жидкость останется неподвижной относительно стенок стакана. Так как частицы по трубке тока движутся по кругу ра­диуса r, то давление в горизонтальной плоскости будет возрастать по мере удаления от оси вращения. Градиент давления вдоль ра­диуса r по (107.3) будет равен ¹)

(108.1)

Заменим в (108.1) окружную скорость частицы v через r и получим

(108.2)

это уравнение можно проинтегрировать по r:

или

(108.3)

¹) Так как движение стационарное, то давление р в горизонтальной пло­скости можно считать функцией только от r.

369

Отсюда видно, что давление в горизонтальном сечении сосуда возрастает пропорционально квадрату расстояния от оси враще­ния. Как известно, давление в каждой точке жидкости должно быть одинаково по всем направлениям, поэтому и уровень жид­кости должен повышаться с расстоянием от оси. Действительно, изменение давления в вертикальном направлении возникает только за счет веса жидкости; поэтому для того, чтобы частица жидкости покоилась относительно стакана, необходимо, чтобы уровень жид­кости над кольцевой пло­щадкой радиуса r₁ был выше уровня жидкости в центре на величину h. Давление, создаваемое весом жидкости на го­ризонтали, проходящей через нижнюю точку свободной поверхности (точку О на рис. 296), равно h, и оно дол­жно равняться давлению

²r²₁/2 где r₁ — расстоя­ние рассматриваемой точки до оси. Поэтому

или

так как =g, где g — ускорение силы тяго­тения. Высота уровня жидкости растет пропорционально квадрату расстояния от оси вращения, т. е. свободная поверхность предста­вляет собой параболоид вращения, как и наблюдается в опытах.

Форма свободной поверхности показывает изменение давления вдоль радиуса. Но можно это проверить еще и таким образом: бросить в стакан с водой, вращающийся на центробежной машине, небольшие кусочки вещества тяжелее воды, все они через некоторое время расположатся внизу у стенки стакана. Кусочки вещества, плавающего на поверхности воды, будут собираться вблизи точки О.

Интересно проследить, как будут вести себя в стакане кусочек свинца и шарик воска, связанные ниткой, (воск легче воды). По­пробуйте в качестве упражнения сами проанализировать резуль­тат такого опыта. Каково будет распределение давления во вращаю-

Рис. 296.

370

щемся сосуде, если он закрыт со всех сторон? Каковы будут распре­деление давления и форма поверхности, если центр стакана с водой расположен не на оси машины?

Отметим, что в рассмотренном случае движения частиц жид­кости при вращении сосуда постоянная Бернулли сохраняет свою величину только для одной трубки тока и различна для разных линий тока. Вспоминая (102.5) и учитывая (108.3), можно записать для трубки тока

так как трубки тока горизонтальны, то член, в который входит h, можно не принимать во внимание. Величина р₀ — давление на оси — зависит только от глубины и равна Н (см. рис. 296). Сле­довательно, постоянная Бернулли (Э) изменяется и с глубиной, и с расстоянием от оси вращения.