14.Линейный оператор. Действия над линейными операторами.

Оператор А,действующий из линейного пространства V в линейное пространство W называется линейным оператором, если одновременно выполняется:

1. A(x1+x2)=A(x1)+A(x2) - адитивность

2. постоянную величину можно выносить за знак оператора: (λА)(х)=λ(Ах) – однородность

Линейный оператор, действующий в конечномерном линейном пространстве будем называть конечномерным линейным оператором.

Действия над лин. операторами: сложение (А+В)х=Ах+Вх (люб.х€V), умножение на число (λА)х=λ(Ах), умножение операторов, возведение в положительную степень, соответствующие действия с их матрицами.

15. Ядро линейного оператора. Основные св-ва.

Ядром линейного оператора А, действующего в линейном пространстве V называют множество таких векторов Х пространства V, которые линейные оператор А переводит в нулевой вектор пространства V.

Обозначение: KerA={х€VlAх=0}

KerA<V (т.е ядро является подпространством линейного пространства V)

Дефектом конечномерного линейного оператора А называется размерность ядра оператора А. Обознач.: defA=dim(KerA)

Для линейного оператора, действующего в n-мерном линейном пространстве X, справедливы следующие утверждения:

1. сумма ранга и дефекта оператора равно размерности пространства, в котором действует оператор:

Def(A) + Rg(A) = n; 

2. ранг оператора равен рангу его матрицы;

3. ядро оператора совпадает с множеством  решений линейной однородной системы с матрицей A, размерность пространства решений этой системы равна дефекту оператора, а ее фундаментальная система решений образует базис в ядре оператора;

4. столбцы, входящие в базисный минор матрицы оператора образуют базис в образе оператора.

5. Сформулированные утверждения позволяют описать структуру образа и ядра линейного оператора, заданного матрицей, используя язык матричных преобразований и общей теории линейных систем.

16.Образ линейного оператора. Основные свойства.

Образом линейного оператора А называется множество всех векторов y€V ,таких, что у=Ах, где x "пробегает" всю область определения оператора А ,т.е. образ — это область значений оператора).

Обозн.: imA={y€V: у=Ах}

Замечание: imA<V (Образ линейного оператора А является линейным подпространством пространства V) .

]V линейное пространство

Dim V=n (размерность линейного пространства V=n)

A:V→V A-линейный оператор.

Размерность образа не превосходит размерности исходного пространства V .

17.Ранг линейного оператора. Основные св-ва.

Рангом конечномерного линейного оператора называется размерность образа оператора А.

Обозначение: rang A=dim(im A)

Теорема о ранге и дефекте. Сумма ранга и дефекта линейного оператора равна размерности dim V пространства V:

dim(imA) + dim(KerA)=n

rang A+def A=n

Замечание. rangоператора A совпадает с рангом матрицы А в базисе (e) пространства V. (dimV=n)

rang A= rangА_{(е) .}