17. Прям. Линия в простр. Основн. Виды ур-я прямой линии в простр. Угол м-у прямыми. Услов. Паралл-ти и перп-ти 2-х прямых.

M0(x0,y0,z0) – фиксир. т. прямой L, M L, ||L , a(l,m,n)

– направл. вектор прямой (люб. вектор, лежащий на прямой либо || ей)

M(x,y,z) – произв. т. прямой L. M L ||  =t*

- векторное ур-е прямой

– парам. ур-е прямой

Исключ. параметр t:

– канонич. ур-е прямой, проход. ч-з фиксир. т. M0(x0,y0,z0) и имеющей направл. вектор (l,m,n).

Пусть даны 2 т. M1(x1,y1,z1), M2(x2,y2,z2). Вектор выбер. в кач-ве направл. прямой L, тогда ур-е прямой примет вид:

- ур-е прямой, проходящей ч-з 2 т.

Пусть , , α1||α2 , в противн. случ. плоск. пересек. и прямая пересечения плоск опр-ся ур-ем:

– общее ур-е прямой

Пусть прямая L зад. линией пересеч. 2-х плоск:

, - это рав-во опр. плоск., кот. прох. ч-з прямую L.

Совокупность всех плоскостей, прох. ч-з одну и ту же прямую, назыв. пучком плоскостей.

, – опред. все плоскости пучка, кроме 2-й из задающих прямую.

Пусть зад. направл. векторы 2-х прямых || , || , (l1,m1,n1), (l2,m2,n2)

Угол м-у прямыми приним. равным углу м-у направл-ми векторами:

L1||L2 || 

L1 L2 

18. Прямая и плоск. Т. Пересеч. Прямой и плоск. Угол м-у прямой и плоск. Услов. Паралл-ти и перп-ти прямой и плоск.

Коорд. т. пересеч. прямой L и плоск. α должны одноврем. удовл. ур-ям:

Подставляя их в ур-е плоск, получ. знач. парам. t

Подставляя найд. t в парам. ур-я прямой, получ. корд. т. пересеч. прямой и плоск.

- угол м-у прямой и плоск, , ||L

– угол м-у прямой и плоск.

L α  || 

L||α   * =0  Al+Bm+Cn=0

19. Эллипс

Эллипсом назыв. геом. место точек M(x;y), для кот. сумма расстояний до 2-х зад. т. F1(c;0) ,F2(-с;0), назыв. фокусами эллипса, постоянна и равна 2а.

По опр-ю | |+| |=2a,

| |=2c, a>c

Восп-ся форм-ми расст. м-у 2-мя т:

| |= = ; | |= =

r1+r2=2a

:возводим в квадрат и группируем

т.к a>c,

x²/a² + y²/b² =1 - канонич. ур-е эллипса

Эл-ты эллипса:

О – центр эллипса, ABCD – вершины эллипса

F1(c;0), F2(-с;0) - фокусы эллипса

2с - фокусное расстояние, кот. вычисл. по ф-ле с=

AC=2a, BD=2b - большая и малая полуоси эллипса

Ɛ=с/a (Ɛ <1) - эксцентриситет эллипса, Ɛ = .

Эксцентриситет опр-ся отношением осей эллипса и характериз.т его форму.

Прямые, парал. малой оси и отстоящие от нее на расстояние a/Ɛ, назыв. директрисами эллипса. Ур-е директрисы:

X=±a/ Ɛ ; a/ Ɛ >a т.е Ɛ <1

Фокальный параметр P= - это половина хорды, провед. ч-з фокус, параллельно малой оси.

Окружность предст. собой геом. место точек, равноудал. от т. О, назыв. центром окружн-ти, a=b=п

– ур-е окружн. с центром (x0,y0) и радиусом r. – канонич. ур-е окружн.

20. Гипербола

Гиперболой назыв. геом. место точек M(x;y), для кот. абсол. величина разности расстояний до 2-х зад. т. F1(c;0) ,F2(-с;0), назыв. фокусами гиперболы, постоянна и равна 2а (a<c)

По опр-ю | |=2a, | |=2c

Найдем:| |= = , |= =

|r1-r2|=2a; r1-r2=±2a

*(-1)

, т.к. по услов. C>a

X²/a² - y²/b² =1 - канонич. ур-е гиперболы

Эл-ты гиперболы:

О – центр гиперболы, A,B – вершины гиперболы

F1(c;0) ,F2(-с;0) – фокусы гиперболы

2с - фокусное расстояние, кот. вычисл. по ф-ле

AB=2a – действит.. ось гиперболы.

СD=2b – мнимая ось гиперболы

Ɛ=с/a - эксцентриситет гиперболы,

Ɛ =

Эксцентритет опр-ся отношением осей гиперболы и характеризует ее форму: чем больше эксцентриситет, тем более вытянут вдоль мнимой оси основной прямоуг-к гиперболы.

Ур-я директрис имеют вид: х=±a/Ɛ ; т.к Ɛ >1 то a/Ɛ <a

Асимптоты гиперболы – это прямые, к кот. ветви гиперболы неограниченно приближаются при удалении на бесконечность

k=±tgα=±b/a

y=kx=± *x – ур-я асимптоты

Фокальный параметр P=