1 Метод Гаусса (lu-разложений).
Теоретической основой метода Гаусса является следующее разложение:
Теорема: (об
LU – разложений матрицы).
Любая квадратная невырожденная матрица
А, у которой главные миноры отличные от
нуля, может быть представлена в виде
произведения двух матриц А=В
С,
где
В – нижне-треугольная матрица (лево треугольная матрица);
С – верхне-треугольная матрица (право треугольная матрица).
Причём это разложение единственно с точностью до диагональных членов.
Определение: Если мы зафиксируем элементы диагонали, то разложение будет единственно, такое разложение называется разложением с точностью до диагональных членов.
Берут в качестве фиксированных элементов на диагонали обычно 1.
Так
как разложение матрицы А представляется
в виде произведения, то уравнение (1)
преобразуется:
(2).
Определение: Разложение матрицы А в разложение В и С называется прямым ходом метода Гаусса.
Определение: Нахождение вектора х по (3) и (4) называется обратным ходом метода Гаусса. Решим уравнение (3):
для
этого решим систему уравнений:
Решим уравнение (4):
Пусть имеет место разложение, т.е.
А=В С или
Тогда:
,
то
,
то
,
(7)
,
(8)
Снятие неопределённости в (7) и (8) следует из правильного порядка вычисления этих формул.
Счёт
по формулам ведётся следующим образом:
с помощью пар индексов
счёт ведётся по строкам
обеих матриц сразу.
2 Нахождения определителя матрицы методом Гаусса.
Согласно теореме об LU разложении: А=В*С, по свойству определителя
3 Уточнение решения полученного методом Гаусса.
Пусть
приближённое решение уравнения: 
(1)
где
погрешность находится по следующей
формуле:
,
а
невязка:
.
Найдем
взаимосвязь между невязкой
и погрешностью
.
Для этого подействуем оператором А на
погрешность
,
т.е.
т.е.
.
Пусть
для любой правой части
в (1) имеет место, следующее неравенство:
.
Построим итерационный процесс уточнения. Начальное приближение:
Для
любого k
найдём
.
- погрешность.
Найдём
-ое
приближение:
(3)
и
докажем что
-ое
приближение будет наиболее ближе к
точному
,
чем
-тое
приближение.
Док – во:
т.е.
приближение 
ближе к точному решению
,
чем
.
ч.т.д.
Таким
образом, решая систему (1) с правой частью
методом Гаусса. Решение обозначаем за
.
Находиться невязка
,
решается система
и находиться
.
Из равенства (3) определяем новое приближение. Процедура выполняется до выполнения условия:
.
Замечание.
Уточнение иногда производят по упрощенной схеме. Задаются системы векторов невязок с убывающей нормой.
4 Нахождение элементов обратной матрицы методом Гаусса.
Определение. Ненулевая матрица А называется обратимой, если существует матрица А-1, называемая обратной и выполнено условие:
Пусть Х – обратная матрица. Тогда 
(*)
где
,
и
.
Тогда уравнение (*) можно представить следующим образом:
.(**)
частями
Правило:
Подставляя
различные k
в (**) мы получим k-ый
столбец. Затем запишем матрицу состоящую
из
.
Таким образом, нужно решить n
СЛАУ, с различными правыми частями , где
в качестве столбца свободных членов
поочередно берутся столбцы единичной
матрицы. Разложение матрицы А достаточно
сделать один раз.
5 Метод квадратного корня, решения систем линейно-алгебраических уравнений с эрмитовыми матрицами.