Билет№5. Момент силы

Момент силы — векторная физическая величина, равная произведению радиус-вектора, проведенного от оси вращения к точке приложения силы, на вектор этой силы. Характеризует вращательное действие силы на твёрдое тело.

1. Изображение момента вектором. Момент силы   относительно центра О (см. рис. 37) как характеристика ее враща­тельного эффекта определяется следую­щими тремя элементами:

 1) модулем мо­мента, равным произведению модуля силы на плечо, т. е.  ;

2) плоскостью поворота ОАВ, проходящей через линию действия силы   и центр О;

3) напра­влением поворота в этой плоскости.

Когда все силы и центр О лежат в одной пло­скости, необходимость задавать каждый раз плоскость поворота ОАВ отпадает, и момент можно определять как скаляр­ную алгебраическую величину, равную  , где знак указывает направление поворота.

Но в случае сил, произвольно расположенных в пространстве, плоскости поворота у разных сил будут разными и должны задаваться дополнительно. Положение плоскости в пространстве можно задать, задав отрезок (вектор), перпендикулярный к этой плоскости. Если одновременно модуль этого вектора выбрать равным модулю момента силы и условиться направлять этот вектор так, чтобы его направление определяло направление поворота силы, то такой вектор полностью определит все три элемента, характеризующие момент данной силы относительно центра О.   

Поэтому в общем случае момент  ) силы   относительно центра О, будем изображать приложенным в центре О вектором  , равным по модулю (в выбранном масштабе) произ­ведению модуля силы   на плечо h и перпендикулярным к пло­скости ОАВ, проходящей через центр О и силу  . Направлять вектор   будем в ту сторону, откуда поворот, совершаемый силой, виден происходящим против хода часовой стрелки. Таким образом, вектор   будет одновременно характеризовать модуль момента, плоскость поворота ОАВ, разную для разных сил, и направление поворота в этой плоскости. Точка приложения вектора   определяет положение центра момента.

2. Выражение момента силы с помощью вектор­ного произведения. Рассмотрим векторное произведение X векторов и (рис. 37). По определению, ,

так как модуль вектора   тоже равен 2 пл.  . Направлен вектор (  x  ) перпендикулярно к плоскости ОАВ, в ту сторону, откуда кратчайшее совмещение   с   (если их отложить от одной точки) видно против хода часовой стрелки, т. е., так же, как век­тор  . Следовательно, векторы (  x  ) и   совпадают и по модулю и по направлению и, как легко проверить, по размерности, т. е. оба эти вектора изображают одну и ту же величину. Отсюда

  или   ,

где вектор  =   называется радиусом-вектором точки А относи­тельно центра О. 

Таким образом, момент силы   относительно центра О равен векторному произведению радиуса вектора   , соединяющего центр О с точкой приложения силы А, на саму силу. Этим вы­ражением момента силы бывает удобно пользоваться при доказатель­стве некоторых теорем.

Билет 6.Пара сил. Момент пары сил как вектор.

Если на тело действует несколько сил, равнодействующая которых равна нулю, а результирующий момент относительно какой-либо оси не равен нулю, то тело не останется в равновесии. Так будет, например, если на тело действуют две равные и противоположные силы, не лежащие на одной прямой. Такие две   силы,   совместно действующие  на  тело, называют парой сил.

Если тело закреплено на оси,   то при действии на него пары сил оно начнет вращаться вокруг этой оси. При этом, вообще говоря, со стороны оси на тело будет действовать сила. Можно показать, однако, что если ось проходит через определенную точку тела, то сила со стороны оси отсутствует. Поэтому, если пара сил будет действовать на свободное тело, то оно начнет вращаться вокруг оси, проходящей через эту точку.

Действие пары сил на тело характеризуется:

1) величиной модуля момента пары,

2) плоскостью действия,

3) направлением поворота в этой плоскости.

При рассмот­рении пар, не лежащих в одной плоскости, для характеристики каж­дой из пар необходимо бу­дет задать все эти три эле­мента. Это можно сделать, если условиться, по аналогии с моментом силы, изображать момент пары соответствую­щим образом, построенным вектором, а именно: будем изображать момент пары вектором т или М, мо­дуль которого равен (в выбранном масштабе) модулю момента пары,   т.е. произведению одной из ее сил на плечо, и который направлен перпендикулярно плоскости действия пары в ту сто­рону, откуда поворот пары виден происходящим против хода часовой стрелки (рис. 38).

Рис. 38

 

Как известно модуль момента пары равен моменту одной из ее сил относительно точки, где приложена другая сила, т. е.  ; по направлению же векторы этих моментов совпадают. Следовательно  .

Билет 7.Свойства пары сил.

Парой сил называется система двух равных по модулю, параллельных и направленных в противоположные стороны сил, действующих на абс. твердое тело. 

Свойства пар сил.

1) алгебраическая сумма моментов обеих сил, составляющих пару, относи­тельно любой точки в плоскости пары равна моменту самой пары.

2)пара сил не имеет равнодействующей - нельзя уравновесить одной силой.

3)  алгебраическая сумма проекций обеих сил, составляющих па­ру, на любую ось равна нулю;

 Билет 8.

Алгебраическим моментом силы относительно  центра   называется   взятое  со знаком плюс  или  минус произведение модуля силы на плечо. Знак плюс берется в том случае, если сила стремится поворачивать плоскость относительно центра против хода часовой стрелки (рис. 3.2). 

Билет 9.

Теорема о параллельном переносе силы:

 

Докажем теорему: Сила, приложенная в какой-либо точке твердого тела, эквивалентна такой же силе, приложенной в любой другой точке этого тела, и паре сил, момент которой равен моменту данной силы относительно новой точки приложения. Пусть в точке А твердого тела приложена сила F. Приложим теперь в точке В тела систему двух сил F' и F^’’-, эквивалентную нулю, причем выбираем F'=F (следовательно, F"=–F). Тогда сила F~(F, F', F"), так как (F',F")~0. Но, с другой стороны, система сил (F, F', F") эквивалентна силе F' и паре сил (F, F"); следовательно, сила F эквивалентна силе F' и паре сил (F, F"). Момент пары (F, F") равен M=M(F,F")=BAxF, т.е. равен моменту силы F относительно точки В M=M_B(F). Таким образом, теорема о параллельном переносе силы доказана.

Билет 10. Приведение плоской произвольной системы сил к центру. Главный вектор и главный момент.

Теорема Паунсо: любую плоскую систему произвольных сил можно привести к одной сосредоточенной силе, приложенной к центру привидения и равной главному вектору системы, и к результирующей паре сил с моментом равным главному моменту системы.

Пусть О — центр приведения, принимаемый за начало коорди­нат, r₁,r₂, r₃,…, r_n–соответствующие радиусы-векторы точек приложения сил F₁, F₂, F₃, ...,F_n, составляющих данную систему сил (рис. 4.2, а). Перенесем силы F₁, F_a, F₃, ..., F_n в точку О. Сложим эти силы как сходящиеся; получим одну силу: F_о=F₁+F₂+…+F_n=åF_k, которая равна главному вектору (рис. 4.2, б). Но при последователь­ном переносе сил F₁, F₂,..., F_n в точку О мы получаем каждый раз соответствующую пару сил (F₁, F”₁), (F₂,F”₂),...,(F_n, F"_n).Моменты этих пар соответственно равны моментам данных сил относительно точки О: М₁=М(F₁,F”₁)=r₁ x F₁=М_о(F₁), М₂=М(F₂, F”₂)=r₂ x F₂=М_о(F₂), …, М_п=М(F_n, F"_n)=r_n x F_n=М_о(F_n). На основании правила приведения системы пар к простейшему виду все указанные пары можно заменить одной парой. Ее момент равен сумме моментов всех сил системы относительно точки О, т. е. равен главному моменту, так как согласно формулам (3.18) и (4.1) имеем (рис. 4.2, в) М₀=М₁+М₂+...+М_n=М_о(F₁)+М_о(F₂)+…+ М_о(F_n)==åМ_о(F_k)=år_k x F_k. Систему сил, как угодно расположенных в пространстве, можно в произвольно выбранном центре приведения заменить силой F_o=åF_k (4.2) и парой сил с моментом M₀=åM₀(F_k)=år_k x F_k. (4.3). В технике очень часто проще задать не силу или пару, а их моменты. Например, в характеристику электромотора входит не сила, с которой статор действует на ротор, а вращающий момент.