4. Непрерывность в метрических пространствах.

Определим сходимость и в тех случаях, когда точка может находиться вне области определения функции или значение функции в этой точке не равно пределу её значений при приближении к ней (претерпевает в этой точке т.н. простой разрыв, или разрыв первого рода).

Def. Пусть ЕХ, f:ЕY, р – предельная точка Е. Говорят, что или, что f(x)q при xp, если  окрестности V(q) точки qY  окрестность W(p) точки рХ такая, что образы всех точек из ЕW(p)\{p}V(q). В этом случае говорят также, что функция f имеет предел в точке р (равный q). Перепишите это определение в «-» терминах для случая метрических Х и Y.

Упражнение 79.

 {p_n}| p_nE, p_np и p_np имеет место .

Выведите отсюда, что функция не может иметь двух разных пределов в одной точке.

Пусть Y представляет собой R, C или R^k. Тогда функции сами образуют кольцо или группу.

Упражнение 80.

Пусть . Тогда:

А) Y=R, C или R^k.

В) Y=R или C. (r0).

С) Y=R^k. (под «» понимается скалярное произведение векторов).

Упражнение 81.

Докажите, что любая функция непрерывна в своей изолированной точке.

В своей предельной же точке р функция непрерывна  .

Упражнение 82.

Сумма, произведение и частное (если знаменатель не обращается в нjль) непрерывных функций f,g:XC или R непрерывны (т.о, образует алгебру).

Упражнение 83.

Пусть f_i:XR, i=1,2,…,k; f:XR^k, f(x)={f₁(x),f₂(x),…,f_k(x)}. Тогда функция f непрерывна  все функции f_i непрерывны.

Функции f_i:XR называются компонентами отображения f.

Упражнение 84.

f:XR^k, g:XR^k непрерывны  отображение f+g:X®R^k и функция fg:XR непрерывны.

Упражнение 85.

А) Координатные функции i:R^kR, i(x)=x_i непрерывны.

В) Многочлены Р(х)= , где коэффициенты с комплексные, а показатели степени натуральные числа или нуль, - непрерывные функции.

С) Норма вектора х - непрерывная функция.

Прямым применением доказанных вами ранее утверждений являются следующие важные факты:

Упражнение 86.

Пусть К – компакт, f:KR – непрерывная функция. Тогда f достигает на К своего максимума и минимума. Точнее: пусть М=sup f(x); m=inf f(x). Тогда y,zK| f(y)=M, f(z)=m.

Упражнение 87.

Непрерывная на сегменте вещественная функция принимает все свои промежуточные значения. А именно, если f:[a,b]R непрерывна и f(a)<c<f(b), то х(a,b)| f(x)=c.

Следующее утверждение служит контрапунктом к упр.№32:

Упражнение 88*.

Пусть f – непрерывная биекция компакта Х на Y. Тогда и обратное отображение f^-1:YX непрерывно.

Def. Пусть f:X®Y – отображение метрических пространств. Говорят, что f равномерно непрерывна на X, если >0 ()>0| _X(x,y)<_Y(f(x),f(y))<.

Упражнение 89.

Чем отличается равномерная непрерывность от простой непрерывности?

Следует ли непрерывность из равномерной непрерывности?

Может ли функция обладать одним свойством и не иметь другого? Приведите примеры.

Упражнение 90*.

Вещественная функция, непрерывная на компакте, равномерно непрерывна на нём.

Упражнение 91.

Пусть Е – не компактное подмножество вещественной прямой. Приведите примеры функций: А) непрерывной, но неограниченной на Е;

Б) непрерывной, ограниченной, но не достигающей максимума на Е;

В) непрерывной, но не равномерно непрерывной на Е.

Def. Пусть вещественная функция f определена на подмножестве Е вещественной прямой R и а – предельная точка Е. Говорят, что f имеет в а предел справа и пишут f(a+)=q, если для любой последовательности {t_n}, такой, что t_nE(a,+) и t_n а, f(t_n)q. Аналогично определяется предел слева.

Ясно, что предел функции в точке а существует в том и только в том случае, когда оба предела существуют и равны, и функция непрерывна в точке а, если, к тому же, она определена в этой точке и её значение в ней равно общему значению этих двух пределов.

В случае, когда функция f в точке х разрывна, но оба односторонних предела f(x+) и f(x-) существуют, говорят, что функция f имеет в точке х разрыв первого рода, в противном случае говорят, что она имеет в этой точке разрыв второго рода. Разрыв первого рода может происходить по двум причинам: либо f(x+)f(x-), либо f(x+)=(x-)f(х).

Упражнение 92.

Монотонная функция может иметь разрывы только первого рода.

Упражнение 93.

Множество точек разрыва монотонной функции не более чем счётно.

Пример монотонной функции, имеющей точки разрыва в заданном счётном подмножестве Е(a,b), -a<b+ .

Занумеруем точки Е в последовательность {x_n}. Возьмём какой-нибудь сходящийся ряд положительных чисел t_n. Определим теперь функцию f(х) следующим образом: .

Проверьте, что функция f

Упражнение 94.

А) монотонно возрастает на (a,b);

В) разрывна на Е;

С) непрерывна во всех остальных точках (a,b).

Таким образом, мы видим, что точки разрыва могут не быть изолированными – множество Е может быть даже всюду плотным подмножеством R!

Упражнение 95.

Пусть, как обычно, [x] обозначает целую часть х (наибольшее целое число, не превосходящее х), а {x} – дробную часть х (т.е., х - [x]). Каковы разрывы функций [x] и {x}?

Упражнение 96.

Докажите, что вещественная, равномерно непрерывная функция, заданная на ограниченном подмножестве вещественной прямой, ограничена.

Пусть вещественная функция f задана на (a,b), а Е – множество тех точек x, в которых она имеет простой разрыв и f(x-)<f(x+). Выберем р между этими двумя числами, и f(x-)<p<f(x+).

Упражнение 97.

1. q, a<q|(q<t<x)  f(t)<p.

2. r, r<b|(x<t<r)  p< f(t).

3. Разным точкам из Е соответствуют различные тройки выбранных чисел (p,q,r), хотя при выборе каждого из этих чисел для каждой точки из Е имелся произвол (мы выбирали каждый раз из бесконечной совокупности пригодных для этого выбора чисел).

4. Множество точек простого разрыва любой вещественной функции не боле чем счётно.

Упражнение 98*.

Постройте пример функции, непрерывной во всех иррациональных точках и имеющей простой разрыв во всех рациональных точках вещественной прямой.

Упражнение 99*.

Пусть f - вещественная функция, заданная и непрерывная на замкнутом подмножестве ЕR.

Докажите, что у неё существует непрерывное продолжение на всю вещественную прямую R: такая непрерывная функция g:RR, что g|_E=f.

(hint: recall #71. Draw it linear on E^c)

Упражнение 100.

Положим f(0,0)=g(0,0)=0; при (x,y)(0,0).

Докажите, что

А) f ограничена на всей плоскости и разрывна в (0,0),

В) g не ограничена в любой окрестности (0,0),

С) тем не менее сужения каждой из этих функций на любую прямую в R² непрерывны!

Def. Определим расстояние от точки до множества в метрическом пространстве: d_E(x)= .

Упражнение 101.

1. Докажите, что d_E(x)=0  x .

2. *Докажите, что функция d_E равномерно непрерывна на всём метрическом пространстве.

Упражнение 102.

Определите расстояние между двумя подмножествами метрического пространства.

Докажите, что оно положительно, если оба подмножества замкнуты, не пересекаются и одно из них ещё и компактно. Приведите пример, когда расстояние между двумя непересекающимися замкнутыми, но не компактными подмножествами метрического пространства равно нулю.

Упражнение 103.

Пусть в метрическом пространстве (МП) Х множества А и В замкнуты, А, В, АВ=.

Положим . Докажите, что f:X[0,1], f^-1(0)=A, f^-1(1)=B и f непрерывна.

Упражнение 104.

Нуль-множеством Z(f) функции f называется множество точек, в которых она обращается в нуль:Z(f)={x|f(x)=0}. Докажите, что нуль-множество непрерывной функции замкнуто. Докажите, что любое замкнутое множество является нуль-множеством некоторой непрерывной функции.

Упражнение 105.

Докажите, что метрические пространства нормальны.

Упражнение 106.

Докажите, что каждое открытое отображение f:RR – монотонная функция.

Упражнение 107.

Пусть Е всюду плотно в МП Х, f,g:XY - непрерывные отображения X в МП Y. Докажите, что f(E) всюду плотно в f(X) и f=g|_E  fg (равно тождественно).

Упражнение 108*.

Пусть Е всюду плотно в МП Х, f:ЕR^k – равномерно непрерывное отображение. Докажите, что f имеет непрерывное продолжение с Е на Х.

(hint: let V_n(x)=B(x,r_n)E and r_n0. Consider )

Def. В R^k можно дать определение выпуклости: множество выпукло, если вместе с каждыми двумя своими точками x и y (концами соответствующих векторов-стрелок, начинающихся в начале координат) оно содержит и весь соединяющий их отрезок. Как мы с вами уже знаем, этот отрезок является образом единичного отрезка I=[0,1] при отображении t  ty+(1-t)x. Поэтому и множество Е R^k называется выпуклым  

x,yE, 0t1 ty+(1-t)xE. Вещественная функция, заданная на интервале (a,b) называется выпуклой, если x,y,t| a<x,y<b, 0t1 выполняется неравенство f(ty+(1-t)x)tf(y)+(1-t)f(x).

Упражнение 109.

А) Докажите, что шары и клетки выпуклы.

В) Докажите, что каждая выпуклая функция, заданная на открытом множестве, непрерывна.

С) Что вы можете сказать о графике выпуклой функции? Как он выглядит?

Упражнение 110.

Докажите, что каждая возрастающая выпуклая функция от выпуклой функции выпукла.

Фе́ликс Хаусдо́рф

(Felix Hausdorff; 8/11/1868, Бреслау (Вроцлав) -26/01/1942 Бонн) — крупнейший немецкий математик, считается одним из основоположников современной топологии. Ввел и впервые исследовал важные в топологии понятия хаусдорфова пространства (1914), топологического предела, частично упорядоченного множества, а также хаусдорфовой размерности (1919).

Также Хаусдорф внёс большой вклад в теорию множеств, функциональный анализ, теорию топологических групп и теорию чисел. Выступал также как писатель под псевдонимом Поль Монгре (Paul Mongré).

Окончив Лейпцигский университет в 1891 г. стал профессором этого университета, позже был профессором университетов в Грейфсвальде и Бонне.

В 1935 году был отстранен он преподавательской деятельности как неариец (что было оформлено как отставка в звании почетного профессора). В 1942, когда отправка его и его семьи в гитлеровский концлагерь стала неизбежной, вместе с женой и её сестрой покончил жизнь самоубийством, приняв смертельную дозу веронала.