Упражнение 12.

Каким условиям должны удовлетворять произвольные семейства подмножеств Г и S во множестве М, чтобы служить соответственно базой и предбазой некоторой топологии в М?

Однозначно ли они определяют эту топологию? (могут ли быть разные топологии с одинаковыми Г и S?). Могут ли различные Г или S определять одну и ту же топологию?

Def. Семейство подмножеств Р является покрытием множества А, если А содержится в объединении элементов (т.е., подмножеств, входящих в Р) Р. Покрытие называется открытым (соответственно замкнутым), если все его элементы, (составляющие его подмножества) открыты (соответственно замкнуты). Покрытие R называется подпокрытием покрытия Р, если RP (т.е., каждый элемент R является и элементом Р). Говорят, что покрытие Q вписано в покрытие Р, или является измельчением покрытия Р, если каждый элемент Q содержится в некотором элементе Р. Частично упорядоченное множество (М, ) называется направленным, если х,уМ zM| (xz)(yz). Иными словами, если даже два элемента окажутся и не сравнимы друг с другом (не связаны отношением порядка в М), то, по крайней мере, найдётся некий элемент, который «больше» каждого из них. Таким свойством обладает, например, отношение включения: для любых двух множеств А и В имеется множество, содержащее оба, например, их объединение АВ. Так вот,

Упражнение 13.

Множество всех покрытий ТП Т является направленным относительно отношения «быть вписанным».

Упражнение 14.

Во всякое открытое покрытие ТП Т можно вписать покрытие, составленное из множеств заданной базы.

Def. Точка р называется внутренней для множества Х, если pInt(X). Окрестностью точки p называется всякое множество, для которого она является внутренней.

Упражнение 15.

a) Открытое множество является окрестностью каждой из своих точек.

b) Всякая окрестность точки р содержит открытую окрестность этой точки.

По этой причине под окрестностью, как правило, понимают именно открытую окрестность.

Поэтому окрестностью множества М будем называть всякое открытое множество, содержащее множество М. (Точнее, это множество, внутренность которого содержит М).

Def. Семейство Г подмножеств называется фильтром, если выполняются два условия: а) (АГ) (АВ)  ВГ и б) (АГ)  (ВГ) (АВ)Г.

Упражнение 16.

Система окрестностей произвольного множества (в том числе и точки) является фильтром.

Упражнение 17.

(р )  каждая окрестность Е(р) точки р имеет непустое пересечение с Х.

Упражнение 18.

(рFr(X))  каждая окрестность Е(р) точки р имеет непустое пересечение как с Х, так и с Х^с.

Упражнение 19.

В топологическом пространстве Т выполняются следующие условия:

I) Каждой точке р соответствует, по крайней мере, одна открытая окрестность U(p). Каждая открытая окрестность U(p) точки р содержит точку р.

II) Для любых двух открытых окрестностей U(p) и V(p) точки р найдётся третья открытая окрестность W(p) точки р, содержащаяся в пересечении этих двух: W(p)U(p)V(p);

III) Пусть qU(p). Тогда найдётся открытая окрестность V(q)U(p).

Обратно, если приведённые выше условия I-III выполняются аксиоматически, а оператор замыкания определяется с помощью упр. 17, то мы получим исходное определение ТП Т.

Таким образом, мы получили ещё одно эквивалентное определение ТП Т.

Def. Покрытие Г ТП Т называется локально конечным, если каждая точка Т обладает открытой окрестностью, пересекающей лишь конечное число элементов Г.

Упражнение 20*.

Если {X_}, M (M- некое множество индексов) – локально конечное покрытие ТП Т, то NM (ср. с упр. 3) (hint: use 3 & 7a)

Def. Покрытие Г ТП Т называется фундаментальным, если  ХТ, ВГ (ХВ открыто в В)  (Х открыто в Т).

Упражнение 21.

А) Покрытие, в которое можно вписать фундаментальное покрытие, само фундаментально.

B) Все открытые покрытия фундаментальны.

С) Все замкнутые конечные и локально конечные покрытия фундаментальны.

Def. Множество Х в ТП Т называется всюду плотным, если =Т.

Множество Х в ТП Т называется граничным, если его дополнение всюду плотно; Х^с-=Т.

Множество Х в ТП Т называется нигде не плотным, если его замыкание граничное; Х^-с-=Т.

Пространство, содержащее счётное всюду плотное подмножество называется сепарабельным.

Упражнение 22.

А) Множество Х - граничное  оно не содержит ни одной внутренней точки ( ни одного непустого открытого множества).

В) Х нигде не плотно  каждое открытое множество содержит открытое подмножество, не пересекающееся с Х.

Упражнение 23.

Объединение граничного и нигде не плотного множества является граничным множеством.

Упражнение 24.

Объединение двух нигде не плотных множеств является нигде не плотным множеством.

Одна из педагогических проблем, связанных с этим разделом математики состоит в том, что в топологии, особенно на начальном этапе её изучения, относительно много определений и сравнительно мало упражнений, чтобы все эти новые понятия «переварить». В дальнейшем удельный вес упражнений начнёт возрастать, и вы постепенно привыкните ко всем этим терминам. Приведём ещё несколько из наиболее употребительных.

Def. Множество К называется компактным или бикомпактным, если каждое его открытое покрытие К содержит его конечное подпокрытие.

Множество К называется счётно-компактным, если каждое его счётное открытое покрытие К содержит конечное подпокрытие.

Множество К называется пространством Линделёфа, (или финально компактным) если каждое его открытое покрытие К содержит счётное подпокрытие.

Множество К называется паракомпактным, если каждое его открытое покрытие К имеет локально конечное измельчение.

Упражнение 25.

Составьте схему зависимости приведённых выше понятий (которое из них шире какого, т.е., включает другое, какие пересекаются и т.д.)

Упражнение 26.

Пусть КXY. Тогда К компактно относительно Х  оно компактно относительно Y.

Упражнение 27.

Пространство со счётной базой сепарабельно.

Упражнение 28. R^k сепарабельно.