10.2. Синтез фильтров по характеристическим параметрам
Исходные моменты синтеза:
фильтр проектируется из одинаковых, согласованных в полосе пропускания друг с другом и с внешними нагрузками, звеньев, например, Г-типа (рис. 10.2);
так как во всей полосе пропускания фильтр считается согласованным, ослабление в полосе пропускания (Δа) считается равным нулю;
величины внешних сопротивлений (Rн = Rг = R) для согласованного режима определяются через сопротивления и
Г-звена по приближенной формуле
,
(10.8)
где , - сопротивления продольной и поперечной ветвей Г-звена (рис. 10.3);
граничная частота (f2) полосы пропускания определяется из условия
(10.9)
ослабление Г - звена (рис. 10.3) на граничной частоте полосы задерживания определяется в децибелах
,
(10.10)
или
,
(10.11)
или
;
(10.12)
количество Г - звеньев, включаемых каскадно, определяется
(10.13)
Таким образом, по исходным данным, с использованием выражений (10.8), (10.9), (10.12), определяются элементы и ослабление Г - звена (схемы - рис 10.3), а затем, по выражению (10.13), количество звеньев. Для упрощения синтеза различных фильтров целесообразно применять рассмотренные частотные преобразования и нормирование, т. е. в основу синтеза положить синтез ФНЧ.
Достоинство данного метода синтеза заключается в его простом алгоритме. Основной недостаток - не учитываются изменения входного и выходного сопротивлений фильтра в полосе пропускания, поэтому характеристики рассчитанного и, затем, реально изготовленного фильтров, отличаются.
Обоснование подобного метода синтеза заключается в следующем.
Рассматривается
линейный четырехполосник и для его
описания используется система
- параметров, введенная в разделе 9.
(10.14)
или
(10.15)
Из выражений (10.14) - (10.15) частные характеристики для произвольного режима имеют вид
(10.16)
(10.17)
(10.18)
(10.19)
Далее
вводится рабочая постоянная передачи
(
)
для произвольного режима, рабочее
ослабление (
),
рабочая фаза (
):
(10.20)
(10.21)
(10.22)
В выражении (10.21) применен натуральный логарифм и единицы ослабления называются неперы, а в выражении (10.22) единицы ослабления называются децибелы.
В
несогласованном режиме часть мощности
не поступает в нагрузку ("отражается"),
что можно отразить, например, введением
коэффициента отражения от нагрузки
(
):
(10.23)
Коэффициент отражения ( ), в свою очередь, связан с коэффициентом передачи полной мощности:
(10.24)
В
выражении (10.24) величина
в операторной форме записи имеет корни
с положительной действительной частью,
что не соответствует пассивным
(устойчивым) цепям.
Далее
анализируются выражения, описывающие
сопротивления четырехполюсника. В общем
случае они могут изменяться от минимально
возможного значения (zкз)
до максимально возможного значения
(zхх).
Индексы "кз" и "хх" относятся
к противоположным клеммам четырехполюсника.
Значения этих сопротивлений, выраженные
через
- параметры, очевидны из выражений
(10.16), (10.17). Таким образом, четырехполюсник
как бы трансформирует сопротивления
внешних цепей, а пара внешних сопротивлений,
при котором в нагрузку передается
максимальная мощность, называются
"согласующими" или "характеристическими"
и обозначаются
и
.
Подставив
в выражения (10.16), (10.17)
,
,
получаем:
(10.25)
(10.26)
Выражения (10.25), (10.26) являются практически полезными для расчёта согласованного режима различных функциональных узлов в радиотехнике.
В
согласованном режиме постоянная передача
называется характеристической постоянной
передачи (
),
ослабление (а) - характеристическим
ослаблением, а фаза ( в ) - характеристической
фазой.
С учетом выражения (10.26) характеристическая постоянная передачи запишется как
(10.27)
или, используя соотношения
;
(10.28)
;
(10.29)
получаем
;
(10.30)
.
(10.31)
Выражения (10.30), (10.31) характеризуют согласованный режим произвольного линейного четырехполюсника. Для согласованного Г - звена фильтра (рис. 10.3) учитывая, что
,
,
,
и с учётом обычных тригонометрических преобразований выражения (10.30), (10.31) преобразуются к виду
(10.32)
(10.33)
Результатом анализа выражений (10.32), (10.33) для разнотипных реактивных элементов , и являются важные выражения (10.9) - (10.12), положенные в основу синтеза фильтров по характеристическим параметрам.