Вопросы по линейной алгебре
МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ.
Матрицы. Основные определения.
Матрица – прямоугольная таблица чисел следующего вида, имеющая m-строки и n-столбцов.
Числа aij (i=1,2,..., m; j = 1,2,...,n) называются элементами матрицы; первый индекс i указывает номер строки, в которой стоит элемент матрицы, а второй индекс j - номер столбца. Если число строк матрицы равно числу ее столбцов (и равно n), то матрица называется квадратной матрицей (порядка n). Две матрицы называются равными, если числа их строк и столбцов соответственно равны и равны числа, стоящие на соответствующих местах: aij=bkl при l=k и j=l
Основными арифметическими операциями над матрицами являются умножение матрицы на число, сложение матриц и умножение матрицы.
Свойство диагональных матриц.
Сумма и произведение двух диагональных матриц - также диагональные матрицы.
Транспонирование матриц. Матрица, получающаяся из матрицы A заменой строк столбцами, называется транспонированной матрицей по отношению к матрице A и обозначается AT. Квадратная матрица A называется симметрической, если AT=A, и кососимметрической, если AT=−A. Элементы, расположенные симметрично относительно главной диагонали, у симметрической матрицы равны, а у кососимметрической противоположны. Все диагональные элементы кососимметрической матрицы равны нулю.
Операции над матрицами: линейные операции. Свойства линейных операций.
Сложение матриц.
Суммой матриц А
и В одинаковой размерности m
n называется
матрица С той же размерности, каждый
элемент которой равен сумме элементов
матриц А и В, стоящих на тех же местах: 
Свойства сложения:
1. А + В = В + А.
2. (А + В) + С = А + (В + С) .
3. Если О – нулевая матрица, то А + О = О + А = А
Замечание 1. Справедливость этих свойств следует из определения операции сложения матриц.
Отметим еще раз, что складывать можно только матрицы одинаковой размерности.
Пример.
Разностью матриц А и В одинаковой размерности m n называется матрица С той же размерности, каждый элемент которой равен сумме элементов матриц А и В, стоящих на тех же местах: (в формуле использовать минус)
Свойства линейных операций, для любых матриц A, B, C и любых μ, λ справедливо:
А+В = В+А (закон коммутативности)
(А+В)+С = А+(В+С) (закон ассоциативности)
(λ * μ)*А = λ*(μ * А)
μ* (А+В) = μ*А + μ*В (умножение матрицы на число дистрибутивно относительно сложения матриц)
(λ + μ)*А = λ*А + μ*А (умножение матрицы на число дистрибутивно относительно сложения чисел)
Операции над матрицами: умножение матриц. Свойства умножения матриц.
Умножение матрицы на число.
Произведением матрицы на число называется матрица той же размерности, что и исходная, все элементы которой равны элементам исходной матрицы, умноженным на данное число.
Свойства умножения матрицы на число:
1. (k*m) A=k (m*A).
2. k (A + B) = kA + kB.
3. (k + m) A = kA + mA.
Замечание: Умножение матриц не коммутативно.
Матрица А и В называются коммутирующими или перестановочными, если А*В = В*А
Нулевая единичная с перестановочным признаком. Любые диагональные матрицы перестановочны.