Стандартная методика проверки статистических гипотез

В стандартной методике проверки статистических гипотез уровень значимости фиксируется заранее, до того, как становится известной выборка .

Чрезмерное уменьшение уровня значимости (вероятности ошибки первого рода)  может привести к увеличению вероятности ошибки второго рода, то есть вероятности принять нулевую гипотезу, когда на самом деле она не верна (это называется ложноотрицательным решением, false negative). Вероятность ошибки второго рода  связана с мощностью критерия  простым соотношением   . Выбор уровня значимости требует компромисса между значимостью и мощностью или (что то же самое, но другими словами) между вероятностями ошибок первого и второго рода.

Обычно рекомендуется выбирать уровень значимости из априорных соображений. Однако на практике не вполне ясно, какими именно соображениями надо руководствоваться, и выбор часто сводится к назначению одного из популярных вариантов . В докомпьютерную эпоху эта стандартизация позволяла сократить объём справочных статистических таблиц. Теперь нет никаких специальных причин для выбора именно этих значений.

Существует две альтернативные методики, не требующие априорного назначения  .

29.

Нормальное распределение

 

Для дальнейшего понимания коротко остановимся на описании статистических методов.

Специалистам чтение не обязательно.

 

Наиболее значимым является Гауссово или нормальное распределение.

Какая-либо случайная величина подчиняется нормальному распределению, когда она подвержена влиянию огромного числа случайных помех.

Такая ситуация крайне распространена, поэтому можно сказать, что из всех распределений в природе чаще всего встречается именно нормальное распределение.

Нормальное распределение характеризуется двумя параметрами - значениями среднего (математического ожидания) и разброса (стандартного отклонения).

Графики нормального распределения для различных значений математического ожидания и дисперсии приведены на рисунке.

 

Здесь по оси абсцисс откладываются численные значения случайной величины, а по оси ординат так называемую плотность вероятности этих величин.

Чтобы определить вероятность попадания измеряемого численного значения в какой-либо интервал, надо умножить ширину этого участка на соответствующую ему плотность вероятности. Естественно, надо брать участок очень маленький, когда плотность вероятности практически не меняется. Не желая здесь в популярной форме объяснять основы интегрального исчисления, подчеркнем, что площадь под графиком всей функции равна 1.

 

Формула нормального распределения имеет сравнительно сложный вид. И чтобы никого не пугать, мы ее приводить не будем. Желающие легко найдут ее самостоятельно. Скажем только, что это экспонента в сложной степени.

А вот свойства этой сложной функции поистине интересны и даже удивительны.

Приведем основное свойство.

Если случайные величины X₁ и X₂ независимы и имеют нормальное распределение с математическими ожиданиями μ₁ и μ₂ и дисперсиями σ₁² и σ₂² соответственно, то X₁ + X₂ также имеет нормальное распределение с математическим ожиданием μ₁ + μ₂ и дисперсией σ₁² + σ₂².

Согласно центральной предельной теореме, если сложить много независимых одинаково распределённых величин с конечной дисперсией, то сумма будет распределена примерно нормально.

 

Для иллюстрации нормального распределения почти во всех учебниках, как под копирку, приводятся примеры распределения роста людей, разброс при стрельбе, разброс в размерах какой-либо детали.