1.2. Гармонические электромагнитные волны
Гармонической электромагнитной волной называет плоскую волну, в которой вектор изменяется по закону
, (1.14)
где - амплитуда волны; - круговая частота волны.
Аргумент зависимости (1.14) можно записать в более распространенном виде:
где -волновое число.
Если выбрать систему координат таким образом, чтобы вектор был направлен вдоль одной из осей, то выражение для принимает наиболее простой вид. Например, если вектор направлен вдоль оси , т.е. , , то
и . (1.15)
Другой, более распространенной и более удобной при проведении математических преобразований формой представления гармонической волны является экспоненциальная форма. К ней можно перейти, если выражение (1.15) записать в виде
.
На практике знак опускают и уравнение волны записывают в виде
. (1.16)
Следует иметь в виду, что при этом представлении волны физический смысл имеет лишь его реальная часть. Преимуществом экспоненциальной формы представления является то, что она позволяет значительно упростить описание различных линейных преобразований вектора . Физический смысл после всех преобразований будет также иметь только реальная часть полученного значения вектора .
1.3. Вектор Джонса.
В поляризационных исследованиях чаще используют представление гармонической волны в виде вектора Джонса. Рассмотрим переход к такому представлению. Поскольку для волны, распространяющейся вдоль оси , волновой фронт параллелен плоскости , то вектор волны имеет лишь две компоненты: и , в общем случае с различными начальными фазами и : в силу этого из соотношений (1.15) и (1.16) можно записать
,
где
,
,
или
,
.
В выражениях (1.18) , - амплитуды колебаний вектора волны вдоль осей и соответственно.
Если ввести вектор-столбец
, (1.19)
называемый вектором Джонса, то он, как следует из (1.18), будет полностью описывать вектор электромагнитного поля с точностью до коэффициента , характеризующего пространственно-временное изменение.
Покажем, что вектор Джонса характеризует состояние поляризации излучения. Согласно определению, тип поляризации света характеризуется кривой, представляющей собой проекцию годографа вектора на плоскость волнового фронта, т.е. в нашем случае на плоскость . (Здесь и в дальнейшем термин "свет" мы будем понимать в широком смысле слова, как электромагнитную волну в оптическом диапазоне частот.)
Рассмотрим световую волну, заданную в форме (1.17). Для нахождения формы искомой кривой исключим из этих соотношений параметр . Непосредственно из (1.17) получим
,
. (1.20)
Умножив первое выражение на , второе - на , после вычитания получим
. (1.21)
Затем, умножив первое выражение в (1.20) на , второе – на и вычитая, получим другое соотношение:
. (1.22)
Возводя (1.21) и (1.22) в квадрат и складывая, получим
, (1.23)
г
Рис.2
К
Рис.2
Определим теперь направление вращения вектора при распространении волны вдоль оси , т.е. при изменении параметра . Для этого зафиксируем такое значение параметра, , при котором , т.е. .Тогда из (1.17) получим
.
Следовательно, при конец вектора находится в точке 1, а при - в точке 2. После этого определим элементарное изменение компоненты вектора при изменении параметра в диапазоне от до . Из формулы (1.17) имеем
,
Рассмотрим частные случаи эллиптической поляризации:
1) , где . Тогда и соотношение (23) принимает вид
,
т.е. эллипс вырождается в отрезок прямой, являющейся диагональю упомянутого выше прямоугольника (рис. 3). При четных значениях прямая располагается в первом и третьем квадрантах, при нечетных - во втором и четвертом. Соответствующую поляризацию света называют линейной;
2) , где . Уравнение (23) в этом случае будет приведено к виду
,
Рис.3
Рис.4
Рис.5
Преобразуем вектор Джонса к виду, более удобному для практического использования. Поскольку характер поляризации определяется разностью фаз , формулу (1.19) удобнее представить в виде
, (1.24)
Начальная фаза не влияет на поляризацию света, и ее в большинстве случаев можно задавать произвольно, в частности, половить равной нулю. Тогда
. (1.25)
Введем величину , называемую интенсивностью световой волны; по определению,
.
В последнем выражении - эрмитово-сопряженный вектор Джонса, т.е. вектор-строка, компоненты которого комплексно-сопряжены исходному вектору. Введем вспомогательный угол , такой, что . (см. рис. 2). Тогда после очевидных преобразований формулу (125) можно записать как
. (1.26)
Форма представления (26) вектора Джонса наиболее удобна, поскольку дает возможность выделить интенсивность волны, которая в большинстве случаев может быть принята равной единице.
В качестве примеров рассмотрим некоторые частные случаи вектора Джонса:
- линейно поляризованный свет единичной интенсивности с азимутом колебаний (направление колебаний вектора составляет угол с осью );
- свет с правой круговой поляризацией; интенсивность света ;
- свет с левой круговой поляризацией; интенсивность света .