Построение экономико-математических моделей

Построим соответствующие экономико-математические модели, рассматриваемых однокритериальных и многокритериальных задач.

Построим модель для выручки:

х₁-выпуск изделия А,

х₂-выпуск изделия В,

х₃-выпуск изделия С.

Одно из условий в системе ограничений - равенство, поскольку необходимо, чтобы третий ресурс (R₃) был полностью израсходован в течение месяца.

Экономико-математическая модель для функции себестоимость:

Экономико-математическая модель для функции прибыль:

Экономико-математическая модель многокритериальной задачи (критерии выручка и себестоимость):

3. 3.1. Решение однокритериальной задачи лп с целевой функцией «выручка» симплекс- методом

Целевая функция «выручка»:

Решаем М-методом:

Для постановки задачи на максимум целевую функцию запишем так:

F(X) = 10x₁+13x₂+14x₃ - Mx₆ → max

Из уравнений выражаем искусственные переменные:

которые подставим в целевую функцию:

F(X) = (10+3M)x₁+(13+2M)x₂+(14+4M)x₃+(-20M) → max

Матрица коэффициентов A = a(ij) этой системы уравнений имеет вид:

Решим систему уравнений относительно базисных переменных:

x₄, x₅, x₆,

Полагая, что свободные переменные равны 0, получим первый опорный план:

X1 = (0,0,0,24,30,20)

Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	x6
x4	24	2	1	3	1	0	0
x5	30	2	2	4	0	1	0
x6	20	3	2	4	0	0	1
F(X0)	-20M	-10-3M	-13-2M	-14-4M	0	0	0

Итерация №0.

Текущий опорный план неоптимален, так как в индексной строке находятся отрицательные коэффициенты.

В качестве ведущего выберем столбец, соответствующий переменной x₃, так как это наибольший коэффициент по модулю.

Вычислим значения D_i по строкам как частное от деления: b_i / a_i3

и из них выберем наименьшее:

Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	x6	min
x4	24	2	1	3	1	0	0	8
x5	30	2	2	4	0	1	0	71/2
x6	20	3	2	4	0	0	1	5
F(X1)	-20M	-10-3M	-13-2M	-14-4M	0	0	0	0

Получаем новую симплекс-таблицу:

Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	x6
x4	9	-1/4	-1/2	0	1	0	-3/4
x5	10	-1	0	0	0	1	-1
x3	5	3/4	1/2	1	0	0	1/4
F(X1)	70	1/2	-6	0	0	0	31/2+1M

Итерация №1.

Текущий опорный план неоптимален, так как в индексной строке находятся отрицательные коэффициенты.

В качестве ведущего выберем столбец, соответствующий переменной x₂, так как это наибольший коэффициент по модулю.

Вычислим значения D_i по строкам как частное от деления: b_i / a_i2

и из них выберем наименьшее:

Следовательно, 3-ая строка является ведущей.

Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	x6	min
x4	9	-1/4	-1/2	0	1	0	-3/4	-
x5	10	-1	0	0	0	1	-1	-
x3	5	3/4	1/2	1	0	0	1/4	10
F(X2)	70	1/2	-6	0	0	0	31/2+1M	0

Получаем новую симплекс-таблицу:

Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	x6
x4	14	1/2	0	1	1	0	-1/2
x5	10	-1	0	0	0	1	-1
x2	10	11/2	1	2	0	0	1/2
F(X2)	130	91/2	0	12	0	0	61/2+1M

Конец итераций: индексная строка не содержит отрицательных элементов - найден оптимальный план

Оптимальный план можно записать так:

x₄ = 14

x₅ = 10

x₂ = 10

F(X) = 13•10 = 13

Искусственные переменные не несут никакого экономического смысла. Они необходимы только для поиска начального БДП.

Для получения максимальной выручки необходимо продать 10 штук изделия B по цене 13 тысяч рублей и не продавать товары А и С.

Х4= 14 – остаток неизрасходованного ресурса R1, т.е. ресурс недефецитный.

Х5= 10 – остаток неизрасходованного ресурса R2, т.е. ресурс недефецитный.