- •4. Синтез систем управления
- •4.1. О синтезе систем управления
- •4.2. Задачи синтеза систем управления
- •4.2.1. Синтез управляющих воздействий
- •4.2.2. Синтез компенсаторов возмущений
- •4.2.3. Синтез систем управления из условия подавления непосредственно неизмеряемых возмущений
- •4.2.4. Синтез следящих систем управления
- •4.2.5. Коррекция систем управления
- •4.2.6. Синтез регуляторов для неустойчивых объектов
- •4.2.7. Расчет настроек типовых регуляторов
- •4.2.8. Синтез систем управления в условиях неполной определенности моделей
- •4.3. Стабилизация неустойчивых объектов
- •4.3.1. Размещение корней характеристического полинома. Операторный метод
- •4.3.2. Размещение собственных значений матрицы дифференциальных уравнений в форме пространства состояний
- •4.3.3. Аналитическое конструирование регуляторов
- •4.3.4. Синтез наблюдателя состояний
4.3.3. Аналитическое конструирование регуляторов
Требования устойчивости и качества процессов можно описывать в неявной форме как экстремали тех или иных функционалов. Наиболее часто, в силу относительной простоты вычислений при достаточной физичности, применяют интегральные квадратичные функционалы (см.п.3.11.2). В случае, когда объект описан в форме пространства состояний, интегральный квадратичный функционал записывается в виде
, |
(4.13) |
где: v — вектор состояния; u — скалярное управление; Q — неотрицательно-определенная весовая матрица; r — весовой коэффициент. Безусловная экстремаль функционала (4.13) отвечает желаемому поведению и зависит от выбора весовых коэффициентов.
В п. 3.11.2 рассматривался вопрос о взаимосвязи интегральных и временных показателей качества. На примере улучшенной интегральной квадратичной оценки было показано, что большие значения коэффициента веса при производной процесса означают стремление к медленно затухающим экспоненциальным процессам с малыми значениями скоростей. Введение в функционал старших производных позволяет учесть большее разнообразие требований к протеканию процессов. Дополнение функционала членом означает косвенное ограничение энергии управления.
Задачей синтеза является определение матрицы коэффициентов обратной связи по состоянию K (см.п.4.3.2), доставляющей минимум функционалу (4.13). Минимизация (4.13) при динамических ограничениях в виде дифференциальных уравнений объекта (4.8) дает условную экстремаль.
Оказывается [ ], что матрица K коэффициентов обратных связей находится из соотношения
,
где матрица является решением нелинейного матричного уравнения Риккати (Riccati)
. |
(4.14) |
Уравнения такого вида решаются численно.
Рассмотрим пример стабилизации перевернутого маятника, заданного уравнениями состояний (4.8) с матрицами (4.12). Примем весовую матрицу Q в функционале (4.13) единичной; положим также . В результате проведения необходимых вычислений, включающих решение уравнения Риккати, получаем матрицу обратных связей:
.
При этом собственные значения матрицы замкнутой системы получаются следующими: .
Поскольку при значительной исходной неопределенности трудно сразу выбрать весовые коэффициенты функционала I, то задача решается путем последовательных приближений.
Изменим весовой коэффициент r функционала (4.13) при управлении, приняв . Соответствующая матрица обратных связей будет равна:
,
а собственные значения матрицы замкнутой системы получатся следующими: .
4.3.4. Синтез наблюдателя состояний
При построении регуляторов в п.4.3.3 предполагалось, что все переменные состояния объекта управления могут быть измерены непосредственно. Однако, как правило, измеряются только переменные выхода, число которых меньше порядка модели объекта. Уравнения состояния (4.8) в этом случае дополняются уравнением выхода:
|
(4.15) |
Если объект наблюдаем полностью, то по измеренным значениям переменной выхода y можно вычислять текущее состояние объекта. При этом управляющее воздействие на объект формируется по оценкам вектора состояния
.
Наблюдатель состояния представляет собой модель объекта, охваченную обратной связью по отклонению выходов модели и объекта y (рис.4.9).
Рис. 4.9. Наблюдатель состояния
Оценка вектора состояния отличается от состояния v объекта из-за различия начальных условий, действующих на объект возмущений, а также неточности описания объекта. Однако при правильном выборе матрицы обратной связи наблюдателя L оценка должна асимптотически стремиться к состоянию объекта.
Можно показать, что задача синтеза наблюдателя — определения матрицы L — является дуальной по отношению к задаче синтеза регулятора — определения матрицы (см.п.4.3.2, 4.3.3). Поэтому матрицу наблюдателя можно найти теми же методами, если вместо пары матриц принять пару . При назначении желаемых собственных значений матрицы или весовых коэффициентов функционалов вида (4.13) необходимо стремиться к большему быстродействию контура наблюдателя.
Рассмотрим пример синтеза наблюдателя для перевернутого маятника. Пусть измеряется положение маятника y. Тогда, в силу выбора переменных состояния: , матрица выхода .
Проведем синтез методом размещения корней. Назначим собственные значения наблюдателя значительно дальше от мнимой оси, чем собственные значения системы, т.е. примем: . Получим следующую матрицу наблюдателя .
Наблюдатель вместе с регулятором состояния образуют динамический регулятор, входом которого является выход объекта, а выходом — управляющее воздействие на объект (см.рис.4.9). Передаточная функция этого регулятора для рассматриваемого примера равна:
.
Оказалось, что нуль передаточной функции регулятора равен левому, оставляемому на месте, полюсу передаточной функции объекта. Корни характеристического полинома замкнутой системы
в точности равны назначенным корням системы: и наблюдателя .
Отметим в заключение, что недостатком синтезированного наблюдателя является его избыточность. Поскольку одна из переменных состояния измеряется, то следует синтезировать наблюдатель, порядок которого меньше порядка модели объекта [ ].