3.1.5. Логарифмические частотные характеристики

Исследование и проектирование сервомеханизмов (электромеханических следящих систем), усилителей и ряда автоматических систем с обратной связью требует рассмотрения свойств элементов и систем на весьма широких диапазонах частот. Тогда целесообразно использование логарифмических частотных характеристик. Логарифмические амплитудную и фазовую частотные характеристики называют также диаграммами Боде (H. W. Bode) [ ].

Для построения логарифмических амплитудных и фазовых частотных характеристик используется стандартная сетка (рис. 3.5). По оси абсцисс в логарифмическом масштабе откладывается круговая частота , рад/с. Декада — единица частотного интервала между двумя частотами , отличающимися в десять раз, т. е. десятичный логарифм отношения которых равен единице: . Октава соответствует удвоению частоты; одна октава соответствует 0.303 декады, так как .

Рис. 3.5. Диаграммы Боде — логарифмические амплитудная и фазовая частотные характеристики

Благодаря логарифмической шкале, “расширяющей” диапазон низких и “сужающей” диапазон высоких частот, удается сравнивать свойства систем в диапазоне частот в несколько декад. На рис. 3.5 показан пример частотных характеристик, построенных в диапазоне частот в четыре декады: = 0.01 рад/с, = 100 рад/с. Выбор натурального масштаба для построения графиков в таком диапазоне частот привел бы к тому, что практически не нашли бы отражения низкочастотные свойства систем на и/или не оказалось бы места для высоких частот.

Рис. 3.6. Пример асимптотической ЛАЧХ

Усиления на логарифмических амплитудно-частотных характеристиках (ЛАЧХ) также представляются в логарифмическом масштабе

, дБ.

При этом усилению в десять раз отвечает +20 дБ, в сто раз — +40 дБ и т. д. Ослаблению в десять раз соответствует -20 дБ, в сто раз — -40 дБ и т. д. Если амплитуда выхода равна амплитуде входа, т. е. усиление равно единице, то этому соответствует 0 дБ. Логарифмическая шкала для амплитуд позволяет исследовать свойства систем, когда на различных частотах усиления изменяются в десятки тысяч раз. На рис. 3.5 усиления систем изменяются от 0 дБ до -80 дБ, т. е. в десять тысяч раз.

На оси абсцисс с логарифмической шкалой отметка с нулевой частотой находится в - . Ось ординат при построении логарифмических частотных характеристик может пересекать ось частот в любом удобном месте, поэтому проводится так, чтобы интересующий исследователя интервал частот находился правее оси ординат.

На рис. 3.5 приведены ЛАЧХ двух систем второго порядка, временные характеристики которых приведены на рис. 3.2 — с меньшей памятью и более широкой полосой пропускания частот (кривая 1) и с более длинной памятью и, соответственно, меньшей полосой пропускания частот (кривая 2). Чем шире функция веса, тем уже полоса частот системы, и наоборот.

Логарифмические амплитудно-частотные характеристики во многих практически важных случаях можно аппроксимировать отрезками прямых —прямолинейных асимптот с наклонами, кратными 20 дБ/дек (рис. 3.6). Как видно из примера (см. рис. 3.5), низкочастотными асимптотами являются горизонтальные линии на уровне 0 дБ, т. е. усиление на низких частотах приближенно равно единице. Прямолинейные асимптоты с наклоном -40 дБ/дек хорошо аппроксимируют ЛАЧХ на высоких частотах.

Частотные характеристики строят или получают экспериментально для некоторого диапазона частот. Выбор диапазона весьма важен и определяется свойствами объектов и систем. Для систем с большей инерционностью диапазон частот уже по сравнению с диапазоном существенных частот у менее инерционных систем.

Абсолютные ошибки построения в логарифмическом масштабе дают одинаковые относительные ошибки, что является дополнительным достоинством ЛАЧХ.

Передаточные функции, все нули и полюсы которых находятся в левой полуплоскости, называют минимально-фазовыми. Такие передаточные функции соответствуют системам, которые вносят меньшие по модулю фазовые сдвиги по сравнению с любыми другими, неминимально-фазовыми передаточными функциями, имеющими ту же ЛАЧХ, но часть нулей и/или полюсов справа от мнимой оси.

На рис. 3.7 изображены АФХ, ЛАЧХ и ЛФЧХ для двух передаточных функций:

Вторая из них имеет правый нуль; ее ЛФЧХ имеет большие значения, чем ЛФЧХ минимально-фазовой передаточной функции .

Рис. 3.7. Примеры АФХ (а) , ЛАЧХ и ЛФЧХ (б) минимально-фазовой и неминимально-фазовой передаточных функций

Амплитудно-частотные характеристики (АЧХ) минимально-фазовых систем однозначно определяют фазовые частотные характеристики, что позволяет оперировать только АЧХ. Для минимально-фазовых передаточных функций справедлива формула Боде, позволяющая вычислять значения фазовой характеристики по крутизне ЛАЧХ

,

где:  — поправочная функция, зависящая от на всем диапазоне частот. Если в окрестности рассматриваемого значения ЛАЧХ мало отличается от асимптоты, т. е. нет резких изменений наклона, то .

Например, если наклон ЛАЧХ близок к 20 дБ/дек, то значения фазовых сдвигов близки к /2 рад.