- •2. Задачи, модели и методы теории управления
- •2.1. Задачи теории управления
- •2.2. Общая схема построения моделей и анализа
- •2.3. Модели сигналов и систем
- •2.3.1. Модели сигналов
- •2.3.2. Сигналы и системы
- •2.3.3. Единство сигналов и систем
- •2.3.4. Динамические и статические модели
- •2.4. Способы построения моделей
- •2.4.1. Аналитический способ
- •2.7.2. Экспериментальный способ
- •2.5. Классы математических моделей
- •2.5.1. Свойства операторов преобразования переменных
- •2.5.2. Систематизация классов моделей
- •2.6. Структурированные модели систем управления
- •2.6.1. Причинность моделей
- •2.6.2. Причинно-следственные модели систем управления
- •2.6.3. Иерархические модели систем управления
2.3.3. Единство сигналов и систем
Сигналы можно описать как генерирующие их автономные системы, а системы — как генерируемые или преобразуемые ими сигналы. Двойственностью интерпретации и единством сигналов и систем широко пользуются в расчетной практике. Рассмотрим некоторые примеры задания сигналов и систем.
1. Модели сигналов — функции непрерывного или дискретного времени — часто иллюстрируют в виде графиков (см. рис. 1.15, рис. 1.16, рис. 2.4). Результатом экспериментального исследования источников сигналов являются таблицы данных. Для задания типовых сигналов используют аналитические выражения; например, гармонический сигнал описывается так
. (2.1)
Сигнал можно задавать как автономную систему — генератор (см. рис. 2.3, а) при типовых начальных условиях. Например, гармонический сигнал (2.1) является решением однородного дифференциального уравнения второго порядка
. (2.2)
Следовательно, уравнение (2.2) также является описанием гармонического сигнала частоты с амплитудой .
Сигнал может задаваться также как фильтр, на вход которого подается типовой сигнал (см. рис. 2.3, б). Тот же гармонический сигнал (2.1) является решением неоднородного дифференциального уравнения
,
т. е. выходом системы, на вход которой подается -функция площади при нулевых начальных условиях.
2. С другой стороны, фильтр (преобразователь) может задаваться как пара сигналов вход/выход. Часто динамические объекты задают в виде временных характеристик — реакций на типовые воздействия при нулевых начальных условиях. Если в качестве типового воздействия принимают ступенчатые сигналы, то реакция называется переходной характеристикой, а если воздействием является единичный импульс ( -функция), то реакцию называют импульсной переходной функцией (функцией веса). Ступенчатые воздействия достаточно просто реализовать на практике экспериментального исследования объектов и других элементов систем управления.
Частотные характеристики объектов и систем управления показывают, как зависят параметры (амплитуды и фазы) установившихся реакций от частоты гармонического сигнала. Частотные характеристики весьма удобны для описания свойств систем. В результате экспериментального исследования устойчивых объектов управления данные принимают вид таблиц.
Среда на входе системы (см. рис. 2.2, б) задается как сигнал , имеющий смысл возмущения или управляющего воздействия. Распространенными типовыми сигналами, моделирующими детерминированные воздействия, являются единичные импульсная и ступенчатая функции, гармонические сигналы. Примером типового случайного воздействия является так называемый “белый шум”.
Другим способом задания модели среды является описание преобразователей — фильтров, на входы которых действуют типовые сигналы.
2.3.4. Динамические и статические модели
Динамические модели систем строятся для объяснения и предсказания поведения — изменений во времени состояния и наблюдаемых выходных переменных, вызванных внутренними процессами и/или воздействиями среды.
Статические модели описывают связи между постоянными значениями входов и выходов. Они могут быть получены из динамических моделей как частный случай, например, приравниванием нулю производных переменных по времени в дифференциальных уравнениях или разностей переменных в разностных уравнениях. Примеры статических моделей приведены в 1.4. Это модели так называемых равновесных режимов.
Следует еще раз подчеркнуть то обстоятельство, что каждая модель строится для конкретного множества сигналов. Сказанное требует уточнения приведенных выше понятий о динамических и статических моделях. Динамические модели строят, если скорости изменения сигналов сопоставимы с собственной динамикой объекта. Если же собственные движения моделируемого объекта много быстрее по сравнению со скоростью изменения сигналов на входе объекта, то такое взаимодействие сигнала и системы целесообразно описывать более простыми статическими моделями.
Для позиционных объектов строят статические характеристики — графики зависимости значений выходов от входов. Статические характеристики можно построить экспериментально, если объект устойчив на исследуемых режимах, т. е. его собственные движения со временем затухают и не накладываются на постоянные значения вынужденных установившихся реакций.
Не все объекты и элементы систем управления являются позиционными, т. е. имеют статические характеристики. В астатических объектах при ненулевом постоянном значении входа переменная выхода изменяется во времени. Например, судно как объект управления курсом является астатическим — если руль находится не в нейтральном положении, то курс движущего судна непрерывно меняется. То же можно сказать и о двигателях, если за выход принимать угловое положение вала. Выход астатических систем постоянен только при нулевом значении входа. Далее будет показано, что астатические объекты не являются асимптотически устойчивыми (находятся на границе устойчивости).