- •3. Дифференциальное исчисление функций одного переменного
- •3.1. Определение производной
- •3.2. Дифференциал функции
- •3.3. Геометрический смысл производной и дифференциала
- •3.4. Формулы дифференцирования (таблица производных)
- •3.5. Правила дифференцирования
- •3.6. Производные и дифференциалы высших порядков
- •3.7. Дифференциальные теоремы о среднем
- •3.8. Раскрытие неопределенностей по правилу Лопиталя
- •3.9. Формула Тейлора
- •Здесь многочлен
- •3.10. Условия монотонности и существования экстремума
- •3.11. Выпуклость функции. Точки перегиба
- •3.12. Асимптоты Наклонные асимптоты
- •Вертикальные асимптоты.
- •3.13. Исследование функции и построение графика
3. Дифференциальное исчисление функций одного переменного
3.1. Определение производной
Рассмотрим функцию , определенную в окрестности некоторой точки . Разность будем называть приращением аргумента в точке , а разность - приращением функции в точке . Здесь предполагается, что принадлежит окрестности .
Определение. Если для функции , определенной в окрестности точки , существует предел отношения приращения функции к приращению аргумента
,
то этот предел называется производной функции в точке .
Производная обозначается обычно , либо . Если принять , то формальное определение производной принимает вид
= .
Операция нахождения производной называется дифференцированием.
3.2. Дифференциал функции
Определение. Функция , определенная в окрестности точки , называется дифференцируемой в этой точке, если приращение функции , где , представимо в виде
.
(x0)– постоянная (для данной точки ); – функция, бесконечно малая относительно , т.е. при .
Линейное относительно слагаемое разложения называется дифференциалом функции в точке :
= .
Теорема (о дифференцируемости функции одной переменной). Функция дифференцируема в точке в том и только в том случае, когда имеет в этой точке производную. При этом A = .
Приращение независимой переменной x назовем дифференциалом dx независимой переменной х.
Тогда выражение для дифференциала функции примет симметричный вид .
Теорема (о связи дифференцируемости функции с непрерывностью). Если функция дифференцируема в точке, то она в этой точке непрерывна.
Обратное утверждение, вообще говоря, неверно: из того, что функция непрерывна в общем случае не следует, что она дифференцируема. Дифференцируемость является более сильным свойством, чем непрерывность.
3.3. Геометрический смысл производной и дифференциала
Производная функции – это угловой коэффициент касательной к графику функции в соответствующей точке:
,
где – угол наклона касательной к оси Ox.
Уравнение касательной: .
3.4. Формулы дифференцирования (таблица производных)
.
.
3.5. Правила дифференцирования
,
,
.
Теорема о дифференцировании обратной функции. Если функция непрерывна и строго монотонна в окрестности точки и имеет производную , то обратная функция имеет производную в точке , причем
.
Теорема о дифференцировании сложной функции. Если функция имеет производную в точке , функция имеет производную в точке , то сложная функция имеет производную в точке , причем
,
или, в краткой форме .
3.6. Производные и дифференциалы высших порядков
Рассмотрим функцию , имеющую производную в каждой точке окрестности точки . Тогда в окрестности определена новая функция – . При этом, если производная этой функции , в свою очередь, имеет производную в точке , то говорят, что исходная функция имеет в точке производную второго порядка («производная от производной»):
= .
Аналогично определяются производные более высоких порядков. В общем случае, производная некоторого -го порядка, где – натуральное число, определяется через производную на единицу меньшего порядка:
.
Пример 1. Рассмотрим показательную функцию
.
Производная функции
.
Производная второго порядка
.
Нетрудно видеть, что в общем случае
.
Пример 2. , , ,
.