- •1.Определение линейного пространства
- •2.Базис линейного пространства.
- •3.Основные примеры линейных пространств и стандартные базисы в них.
- •4.Линейная зависимость и независимость элементов линейного пространства.
- •5. Разложение вектора по базису.
- •6.Замена базиса в линейном пространстве. Изменение координат вектора при замене базиса.
- •7.Линейные подпространства. Сумма и пересечение подпространств. Прямая сумма подпространств.
- •8. Определение линейного оператора. Примеры
- •9. Образ и ядро линейного оператора
- •10.Матрица линейного оператора.
- •11. Нахождение образа и прообраза вектора, если известна матрица линейного оператора.
- •12. Преобразование матрицы линейного оператора при переходе к новому базису
- •13.Нахождение ядра линейного оператора, если известна матрица линейного оператора.
- •14.Нахождение образа линейного оператора, если известна матрица линейного оператора.
- •15.Линейные преобразования. Сумма, произведение линейных преобразований. Обратное преобразование.
- •16.Понятие собственные векторы и собственные значения
- •17. Характеристическое уравнение в математике
- •18. Нахождение собственного вектора и собственных значений линейного преобразования (статья не окончена)
- •19.Приведение матрицы линейного преобразования к диагональному виду.
- •20.Линейная функция. Определение, примеры.
- •21.Билинейная функция. Определение, примеры.
- •22.Матрица билинейной функции. Нахождение значения билинейной функции, если известна ее матрица.
- •23.Изменение матрицы билинейной функции и квадратичной формы при переходе к новому базису.
- •24.Квадратичные формы. Связь с билинейными функциями. Матрица квадратичной формы.
- •25.Приведение квадратичной формы к диагональному виду методом элементарных преобразований.
- •26.Приведение квадратичной формы к диагональному виду методом Лагранжа.
- •27.Канонический вид квадратичной формы. Положительный и отрицательный индексы инерции квадратичной формы. Ранг квадратичной формы.
- •28.Положительно определенные квадратичной формы. Критерий Сильвестра.
- •29.Определение эллипса. Фокусы эллипса.
- •34.Нахождение фокусов, эксцентриситета, директрис гиперболы, если известно ее каноническое уравнение.
- •35.Определение параболы. Фокус и директриса параболы.
- •36.Каноническое уравнение параболы. Параметр параболы. Построение параболы.
- •37.Нахождение фокуса и директрисы параболы, если известно ее каноническое уравнение.
- •38.Общие характеристики эллипса, гиперболы, параболы. Геометрический смысл эксцентриситета.
- •39.Приведение уравнения кривой второго порядка к каноническому виду методом выделения полных квадратов.
- •40.Инварианты кривой второго порядка. Определение вида кривой с помощью инвариантов.
- •41.Полярная система координат. Связь с прямоугольной системой координат. Построение кривой в полярной системе координат.
- •42.Кривые заданные параметрически. Примеры. Построение параметрически заданной кривой.
- •43.Эллипсоид. Однополостный и двуполостный гиперболоиды. Канонические уравнения. Вид поверхностей.
- •44.Конус. Эллиптический и гиперболический параболоиды. Канонические уравнения. Вид поверхностей.
1.Определение линейного пространства
Множество L называется линейным или векторным пространством, если для всех элементов (векторов) этого множества определены операции сложения и умножения на число и справедливо:
1. Каждой паре элементов x и y из L отвечает элемент x + y из L, называемый суммой x и y, причём:
x + y = y + x − сложение коммутативно;
x + (y + z) = (x + y) + z − сложение ассоциативно;
x + 0 = x − существует единственный нулевой элемент 0 ( x + 0 = x для любого x из L);
x + (− x) = 0 − для каждого элемента x из L существует единственный противоположный элемент −x ( x + (−x) = 0 для любого x из L).
2. Каждой паре x и α, где α − число, а x элемент из L, отвечает элемент α·x, наываемый произведением α и x, причём:
α·(β·x) = (α·β)·x − умножнение на число ассоциативно: ;
1·x = x − для любого элемента x из L.
3. Операции сложения и умножения на число связаны соотношениями:
α·(x + y) = α·x + α·y − умножнение на число дистрибутивно относительно сложения элементов;
(α + β)·x = α·x + β·x − умножнение на вектор дистрибутивно относительно сложения чисел.
2.Базис линейного пространства.
Определение -> Базисом линейного пространства L называется такая конечная упорядоченная линейно независимая система векторов, что любой вектор пространства L является линейной комбинацией этих векторов. В отличие от трехмерного пространства векторов, в некоторых линейных пространствах базис не существует.
Теорема -> В линейном пространстве любые два базиса содержат одинаковое число векторов.
Определение -> Линейное пространство L , в котором существует базис, состоящий из n векторов, называется n -мерным линейным или векторным пространством. Число n называется размерностью пространства и обозначается dim L . Линейное пространство, в котором не существует базис, называется бесконечномерным. Примером бесконечномерного пространства является пространство всех многочленов с вещественными коэффициентами.
3.Основные примеры линейных пространств и стандартные базисы в них.
Кроме выше описанного детального примера линейного векторного пространства можно привести еще массу примеров множеств, которые также являются линейными пространствами. К таким множествам относится
Множество всех полиномов фиксированной степени. Причем суммой двух многочленов будет являться многочлен с коэффициентами, равными суммам коэффициентов слагаемых, а произведением многочлена на число будет многочлен с коэффициентами исходного многочлена, умноженными на это число.
Матрицы порядка n. Суммой двух матриц является матрица, составленная из сумм элементов исходных матриц, а произведением матрицы на число будет матрица из произведений элементов исходной матрицы на это число. Нулевым элементом при этом будет матрица состоящая из одних нулей. Легко проверяется по аналогии с векторами на плоскости, что все аксиомы линейного пространства для множества квадратных матриц фиксированной размерности выполнены.
Элементы линейного пространства также по аналогии называют векторами, однако они могут и не быть обычными векторами плоскости или прямой, или трехмерного пространства. Векторами мы будем называть и матрицы и многочлены и все остальные математические объекты, которые удовлетворяют аксиомам линейного пространства.