- •1 Вказати загальний розв’язок рівняння ( - довільні функції).
- •11 Рівняння вільних коливань струни має вид:
- •12 Рівняння теплопровідності в стержні має вид:
- •13 Рівняння Лапласа має вид:
- •18 Розв’язок задачі теплопровідності в стержні має вид:
- •19 Рівняння Лапласа в полярних координатах має вид:
- •20 Розв’язок задачі Діріхле для круга має вид:
- •Рівtym c
- •1 Вказати тип рівняння .
- •2 Вказати тип рівняння .
- •3 Вказати тип рівняння .
- •4 Вказати тип рівняння .
- •5 Вказати тип рівняння .
- •6 Вказати тип рівняння .
- •7 Вказати тип рівняння .
- •8 Вказати тип рівняння .
- •9 Вказати тип рівняння .
- •10 Вказати тип рівняння .
- •32 Розв’язком рівняння ( ), який задовольняє умовам , є функція:
- •33 Розв’язком рівняння ( ), який задовольняє умовам , є функція:
- •32 Розв’язком рівняння ( ), який задовольняє умовам , є функція:
- •34 Розв’язком рівняння ( ),який задовольняє умовам , є функція:
- •35 Розв’язком рівняння ( ), який задовольняє умовам , є функція:
- •36 Розв’язком рівняння ( ), який задовольняє умовам , є функція:
- •37 Роз’язком рівняння ( ), який задовольняє умовам , є функція:
- •38 Розв’язком рівняння ( ), який задовольняє умовам , є функція:
- •40 Розв’язком рівняння ( ), який задовольняє умовам , є функція:
- •52 Розв’язком задачі Діріхле для круга ( - радіус круга) є функція:
- •53 Розв’язком задачі Діріхле для круга ( - радіус круга) є функція:
- •54 Розв’язком задачі Діріхле для круга ( - радіус круга)є функція:
- •55 Розв’язком задачі Діріхле для круга ( - радіус круга) є функція:
- •56 Розв’язком задачі Діріхле для круга ( - радіус круга) є функція:
- •57 Розв’язком задачі Діріхле для круга ( - радіус круга) є функція:
- •58 Розв’язком задачі Діріхле для круга ( - радіус круга) є функція:
- •59 Розв’язком задачі Діріхле для круга ( - радіус круга) є функція:
- •60 Розв’язком задачі Діріхле для круга ( - радіус круга) є функція:
ВИЩА МАТЕМАТИКА
розділ 8
рівень B
1 Вказати загальний розв’язок рівняння ( - довільні функції).
а) ; б) ;
в) ; г) ; д) інша відповідь.
А .
2 Вказати загальний розв’язок рівняння ( - довільні функції).
а) ; б) ; в) ;
г) ; д) інша відповідь.
В .
3 Вказати загальний розв’язок рівняння ( - довільні функції).
а) ; б) ; в) ;
г) ; д) інша відповідь.
Б .
4 Вказати загальний розв’язок рівняння ( - довільні функції).
а) ; б) ; в) ;
г) ; д) інша відповідь.
Г .
5 Вказати загальний розв’язок рівняння ( - довільні функції).
а) ; б) ;
в) ; г) ; д) інша відповідь.
Б .
6 Вказати загальний розв’язок рівняння ( - довільні функції).
а) ; б) ;
в) ; г) ; д) інша відповідь.
В .
7 Вказати загальний розв’язок рівняння ( - довільні функції).
а) ; б) ;
в) ; г) ; д) інша відповідь.
А .
8 Вказати загальний розв’язок рівняння ( - довільні функції).
а) ; б) ;
в) ; г) ; д) інша відповідь.
Г .
9 Вказати загальний розв’язок рівняння ( - довільні функції).
а) ; б) ;
в) ; г) ; д) інша відповідь.
Б .
10 Вказати загальний розв’язок рівняння ( - довільні функції).
а) ; б) ;
в) ; г) ; д) інша відповідь.
В .
11 Рівняння вільних коливань струни має вид:
а) ; б) ; в) ; г) ; д) інша відповідь.
Б .
Якщо щільність стала, , то рівняння коливань струни приймає вигляд: , де - сталі.
12 Рівняння теплопровідності в стержні має вид:
а) ; б) ; в) ; г) ; д) інша відповідь.
Г .
Рівня́ння теплопові́дності — рівняння, що визначає закон зміни температури з часом при теплопередачі через теплопровідність.
де c — питома теплоємність, q — тепловий потік, S — джерело тепла.
У випадку, коли тепловий потік пропорційний градієнту температури (закон Фур'є)
,
закон теплопровідності набирає форми:
Це неоднорідне диференційне рівняння в часткових похідних параболічного типу, схоже на рівняння дифузії.
Здебільшого при розв'язуванні рівняння теплопровідності вважають, що теплоємність і коефіцієнт теплопровідності не залежать від температури. В такому випадку рівняння теплопровідності стає лінійним.
13 Рівняння Лапласа має вид:
а) ; б) ; в) ; г) ; д) інша відповідь.
В .
Рівняння Лапласа — однорідне лінійне рівняння в часткових похідних другого порядку еліптичного типу.
Функції, які задовільняють рівнянню Лапласа, називаються гармонічними.
14 Розв’язок задачі про вільні коливання струни, закріпленої на кінцях має вид:
а) ;
б) ;
в) ;
г) ; д) інша відповідь.
А .
Рівняння виду
(1)
с крайовими умовами
(2)
і початковими умовами
(3)
(4)
описує закон коливань однорідної тонкої нерозтяжної струни довжини l, закріпленої на кінцях у точках х=0 і х=l (умови (2)), з початковою формою (х) (умова (3)) і початковою швидкістю (х) (умова (4)), у поле дії зовнішньої сили (наприклад, сили ваги, у магнітному полі й т.п.). Постійний параметр a2 залежить від властивостей струни, функція F(x;t) - від зовнішньої сили. Якщо F(x;t)=0 – це значить, що зовнішньої сили немає (або їй можна зневажити) і коливання називаються вільними.
Відзначимо, що коливання розглядаються малі (відхилення u крапок струни від положення рівноваги – осі Ох – мало), плоскі (коливання відбуваються тільки в площині хOu), поперечні (кожна крапка струни рухається строго перпендикулярно положенню рівноваги).
Рівняння вільних коливань струни, закріпленої на кінцях:
має рішення виду
,
де коефіцієнти Аn і Вn знаходять із початкових умов:
Тобто, оскільки , то =0, тому складова Bn=0/
15 Розв’язок задачі про вільні коливання струни, закріпленої на кінцях має вид:
а) ;
б) ;
в) ;
г) ; д) інша відповідь.
Б .
Рівняння виду
(1)
с крайовими умовами
(2)
і початковими умовами
(3)
(4)
описує закон коливань однорідної тонкої нерозтяжної струни довжини l, закріпленої на кінцях у крапках х=0 і х=l (умови (2)), з початковою формою (х) (умова (3)) і початковою швидкістю (х) (умова (4)), у поле дії зовнішньої сили (наприклад, сили ваги, у магнітному полі й т.п.). Постійний параметр a2 залежить від властивостей струни, функція F(x;t) - від зовнішньої сили. Якщо F(x;t)=0 – це значить, що зовнішньої сили немає (або їй можна зневажити) і коливання називаються вільними.
Відзначимо, що коливання розглядаються малі (відхилення u крапок струни від положення рівноваги – осі Ох – мало), плоскі (коливання відбуваються тільки в площині хOu), поперечні (кожна крапка струни рухається строго перпендикулярно положенню рівноваги).
Рівняння вільних коливань струни, закріпленої на кінцях:
має рішення виду
,
де коефіцієнти Аn і Вn знаходять із початкових умов:
підставляючи t=0 одержуємо
=0 pf evjdj.
тобто Аn – коефіцієнти Фур'є для функції (х) при розкладанні на інтервалі (0; l) по синусах кратних дуг.
Далі, диференціюючи u(х;t) по t і підставляючи t=0 одержуємо:
,
тобто – коефіцієнти Фур'є для функції (х) при розкладанні на інтервалі (0; l) по синусах кратних дуг.
Отже, складова An=0, тому розв’язок має вид:
16 Розв’язок задачі про вільні коливання струни, закріпленої на кінцях має вид:
а) , ;
б) , ;
в) , ;
г) , ;
д) інша відповідь.
В .
Рівняння виду
(1)
с крайовими умовами
(2)
і початковими умовами
(3)
(4)
описує закон коливань однорідної тонкої нерозтяжної струни довжини l, закріпленої на кінцях у крапках х=0 і х=l (умови (2)), з початковою формою (х) (умова (3)) і початковою швидкістю (х) (умова (4)), у поле дії зовнішньої сили (наприклад, сили ваги, у магнітному полі й т.п.). Постійний параметр a2 залежить від властивостей струни, функція F(x;t) - від зовнішньої сили. Якщо F(x;t)=0 – це значить, що зовнішньої сили немає (або їй можна зневажити) і коливання називаються вільними.
Відзначимо, що коливання розглядаються малі (відхилення u крапок струни від положення рівноваги – осі Ох – мало), плоскі (коливання відбуваються тільки в площині хOu), поперечні (кожна крапка струни рухається строго перпендикулярно положенню рівноваги).
Рівняння вільних коливань струни, закріпленої на кінцях:
має рішення виду
,
де коефіцієнти Аn і Вn знаходять із початкових умов:
підставляючи t=0 одержуємо
,
тобто Аn – коефіцієнти Фур'є для функції (х) при розкладанні на інтервалі (0; l) по синусах кратних дуг.
Далі, диференціюючи u(х;t) по t і підставляючи t=0 одержуємо:
,
тобто – коефіцієнти Фур'є для функції (х) при розкладанні на інтервалі (0; l) по синусах кратних дуг.
, ;
17 Розв’язок задачі про вільні коливання нескінченної струни має вид:
а) ; б) ;
в) ; г) ;
д) інша відповідь.
Г .
Рівняння вільних коливань нескінченної струни:
(без крайових умов)
вирішують за допомогою формули Даламбера: