11

Гидростатическое давление и его свойства

Выделим в пространстве, занимаемом жидкостью, массу жидкости, ограниченную поверхностью произвольной формы.

Массу жидкости разделим на две части плоскостью АВ.

Воздействие верхней части I на нижнюю часть II заменим силой Р. Выделим в плоскости АВ площадку ∆F.

Сила, действующая на эту площадку, равна ∆Р.

Напряжение от этой силы в точке равно:

Величину р называют гидростатическим давлением в точке, или просто гидростатическим давлением.

Оно обусловлено действием массовых сил, приложенных к частицам жидкости.

Его единица [р] = Н/м² = Па.

Гидростатическое давление отличается двумя свой­ствами:

1. Гидростатическое давление направлено по внутренней нормали к площадке, на которую оно действует. Если поверхность криволинейная, то давление направлено нормально к касательной этой поверхности. Это свойство связано с тем, что жидкость, находящаяся в состоянии равновесия, не сопротивляется растягивающим и сдвига­ющим усилиям. Гидростатическое давление является сжимающим усилием и направлено нормально к площадке, а не от нее, т. е. по внутренней нормали.

2. Гидростатическое давление в точке жидкости одинаково по всем направлениям или, иначе, гидростатическое давление не зависит от ориентации площадки, на которую оно действует.

Дифференциальные уравнения равновесия жидкости

В разных точках давление р имеет неодинаковое значение, т. е.

р = р (х, у, z)

Основная задача гидростатики — исследование распре­деления давления в жидкости и на границах между жидкостью и различными поверхностями.

Рассмотрим равновесие массы жидкости в объеме элементарного прямоугольного параллелепипеда.

Действие окружающей параллелепипед жидкости на его грани заменим силами давления жидкости с учетом свойств гидростатического давления.

Пусть давление в точке, находящейся в центре параллелепипеда, равно р.

Кроме давлений, действует массовая сила.

Проекции этой силы, отнесенной к массе, т. е. ускорения, обозначим X, Y, Z.

Поскольку давле­ние является непрерывной функцией, то, разложив ее в ряд Тейлора и принимая во внимание два члена, найдем выражение для давлений на всех шести боковых гранях параллелепипеда.

Чтобы не осложнять рисунок, такие давления показаны только в направлении оси х.

Сумма проекций сил на оси х:

Произведя сокращения, получим:

В то же время:

,

где mX – проекция массовой силы на ось х,

V – объём жидкости

Отсюда следует: изменение давления р на единицу длины в каком-нибудь направлении (в данном случае в направлении оси х) равно про­екции массовой силы, отнесенной к объему жидкости.

Аналогичные уравнения получим, проектируя силы на ось y и на ось z.

Окончательно три уравнения равновесия запишем в виде:

Основное уравнение гидростатики

Умножим систему уравнений соответственно на dх, dу, dz и результат их сумми­рования запишем в виде:

Левая часть уравнения есть пол­ный дифференциал давления р, по­этому уравнение принимает вид:

(1)

Сумма в скобках правой части уравнения выражает энергию, отнесенную к массе.

Выражение в скобках в правой части уравнения при ρ = const есть полный дифференциал некоторой функции U (х, у, z), т. е.:

С учетом этого уравнение принимает вид:

Функцию U (х, у, z) называют потенциалом массо­вых сил, или силовой функцией. Силы, для которых существует эта функция, называют силами, имеющими потенциал.

Проинтегрируем уравнение (1).

Будем считать, что жидкость находится под действием силы веса и ось z направлена вверх.

Ось у направлена перпендикулярно к плоскости чертежа.

При этих условиях: X = 0; Y = 0; Z = - g,

где g — ускорение свободного падения.

С учетом этого уравнение (1) принимает вид:

(2)

На свободной поверхности жидкости в резервуаре давление р₀. Давле­ние в любой точке жидкости равно р.

Уравнение (2) с учетом пределов интегрирования, как показано на рисунке, запишем так:

(3)

Поделим это выражение на γ и полученный результат запишем со следующей группировкой членов:

(4)

Левая часть уравнения относится к точке, в которой давление р, а правая — к точке на поверхности воды, где давление р₀ .

Уравнение (4) — основ­ное уравнение гидростатики.