- •Введение в теорию погрешностей.
- •Основные понятия и правила, необходимые для оценки вычислительных погрешностей.
- •1. Отделение корней:
- •2. Графическое отделение корней.
- •3. Уточнение корней:
- •4. Метод половинного деления (метод дихотомии).
- •5. Метод хорд.
- •7. Комбинированный метод хорд и касательных.
- •Метод Гаусса для линейных уравнений
- •Метод Зейделя.
- •Численное интегрирование
- •1. Формула трапеций.
- •Метод наименьших квадратов.
- •Линейное интерполирование.
Введение в теорию погрешностей.
Численные методы относятся к основным методам решения задач математики и ее различных приложений. Они сводят процесс решения математических задач к некоторой конечной последовательности операций над числами и приводят к результатам, представленным в виде чисел, векторов, матриц , таблиц и т.п.
Основные этапы математического решения прикладных задач:
Построение математической модели.
Определение исходных данных.
Решение полученной математической задачи (МЗ).
Погрешности появляются уже на 1 этапе.
После того, как математическая модель построена и определены исходные данные, необходим выбор метода решения МЗ.
Математические методы делятся на:
аналитические;
численные (точные, приближенные);
графические.
Численный метод называется точным, если он дает возможность получать после конечного числа операций точное решение задачи.
Численные методы называется приближенными, если они приводят к приближенным результатам даже при точных исходных данных и точных вычислениях.
Возникают так называемые погрешности метода.
Основные источники погрешностей:
замена реальной задачи математической моделью;
затруднения в определении точных исходных данных;
применение приближенных методов;
арифметические действия над приближенными числами;
вычисление значения функции;
округление чисел;
ограниченность разрядной сетки вычислительных устройств.
Основные понятия и правила, необходимые для оценки вычислительных погрешностей.
Расстояние (метрика).
Это понятие неразрывно связано с мерой близости между двумя какими-то объектами.
Это одно из понятий математического анализа.
Опр. Пусть Х – некоторое непустое множество. Функция : х,у Х (х,у) 0, удовлетворяет условиям:
(х,у) = 0 х=у (аксиома тождества);
(х,у) = (у,х) (аксиома симметрии); (1)
(х,у) (х,z) + (z,у) (аксиома треугольника)
называется расстоянием (или метрикой) на Х.
Множество Х с введенной метрикой называется метрическим пространством (МП). На одном и том же множестве можно ввести понятие метрики разными способами. При этом получаются разные МП.
Абсолютная погрешность – основная характеристика точности вычислений.
Пусть А – точное значение величины,
а – приближенное к нему.
Обозначение: А а.
Определение 1. Разность А-а (или а-А) называется погрешностью значения а.
Может быть как положительным, так и отрицательным числом, в случае векторов или функций будет вектором или функцией.
При определении исходных данных и в процессе вычисления часто удается расстояние между точными и приближенными значениями оценивать сверху некоторым неотрицательным числом.
Определение 2. Любое неотрицательное число а : (А-а) а называется абсолютной погрешностью приближенного значения а. (2)
Замечание. Dа устанавливает «верхний предел» для значений расстояния и сего помощью можно найти границы, в которых находится точное значение А.
Число Dа также называется оценкой погрешности (точности) значения а или приближенного равенства А а.
Условие (2) можно записать: ½ А-а ½£ Dа.
Если а - приближенное число, ½ А-а ½£ Dа а - Dа £ А £ а + Dа
А Î а - Dа; а + Dа .
Абсолютная погрешность определятся неоднозначно. На практике стараются в качестве Dа выбрать меньшее при данных обстоятельствах число.
Если о точном значении А ничего не известно, кроме границ:
а1 £ А £а2, то за приближенное число (берут середину отрезка). Тогда Dа=
Определение 3. Если известна абсолютная погрешность Dа приближенного значения а, то а называется приближением к А с точностью до Dа.
Когда говорят, что надо получить результат с заданной точностью 0, то это означает, что Dа £ .
Определение 4. Значащие цифры числа – все цифры десятичной записи числа, начиная с первой ненулевой слева. Нули в конце числа всегда считаются значащими, в противном случае их не пишут.
Пример: 0,05020, значащие 5, 0, 2, 0.
Правило. В записи абсолютной погрешности обычно оставляют только 1 или 2 значащие цифры, округление при этом всегда поощряется с избытком.
Пример: Число е=2,7182818…
Требуется оценить погрешность округления числа е до трех значащих цифр е 2,72.
(е; 2,72) = ½ е - 2,72½= 0,00171817…
Введем абсолютную погрешность D2,72 = 0,0018 (с 2-мя значащими цифрами)
D2,72 = 0,002 (с 1 значащей цифрой)
Абсолютная погрешность записывается в плавающей форме (с плавающей десятичной запятой) m 10 (m – мантисса, - порядок).
1.3. Основные понятия и правила записи приближенных чисел.
Правило округления чисел:
Чтобы округлить число до n значащих цифр, отбрасывают все его цифры, стоящие справа или заменяют нулями, если это нужно для сохранения разрядности. При этом:
если первая (слева) отбрасываемая цифра меньше 5, то все сохраняемые цифры остаются без изменения;
если первая отбрасываемая цифра больше, либо равна 5, но среди остальных отбрасываемых есть ненулевые, то к последней прибавляется 1;
если первая отбрасываемая цифра равна 5 и все остальные цифры равны 0, то последняя сохраняемая цифра остается неизменной, если она четная и увеличивается на 1 – если нечетная.
Определение 5. Верная значащая цифра определяется с помощью абсолютной погрешности. Если абсолютная погрешность Dа не превосходит половину единицы этого разряда, то она называется верной, т.е.
Dа £0,510к (к – разряд, к = n, …, 1,0,-1, …-m); a = аn…а1, а0, а-1, а-2…а-m.
Все значащие цифры слева от верной - верные, справа – сомнительные.
Пример: есть приближенное число х = 72,356, Dх = 0,04.
Определить верные значащие цифры.
Проверка:
7: Разряд десяток 10/2 = 5 0,04 верная;
2: Разряд единиц ½ = 0,5 ³ 0,04 Þ верная;
3: 0,1/2 = 0,05 ³ 0,04 Þ верная;
5: 0,01/2 = 0,005 0,04 Þ сомнительная;
6: сомнительная.
Правило: Абсолютная погрешность округляется с избытком до одной значащей цифры (обозначается d). Если d 5, то все значащие цифры числа, а левее того разряда, где d, будут верными. В противном случае, последнюю (самую правую) из этих цифр следует признать сомнительной.
Пример.
Рассмотрим три числа:
а = 2,645 в = 0,81726 с = 3968
Dа = 0,003 Dв = 0,0052 Dс = 49
а: 3 Þ см. на 5; 3 £ 5 Þ верные 2,6,4;
в: Dв 0,006 Þ d = 7 5 Þ «портит» разряд сотых долей Þ верная 8;
с: верные 3,9.
Правило. За абсолютную погрешность числа с известными верными значащими цифрами принимается половина единицы того разряда, где находится последняя верная цифра.
Замечание. Необходимо обращать внимание на значимость нулей, записанных в конце числа.
Примеры.
Известно, что все цифры чисел 3,2 и 3,20 верные. За абсолютную погрешность для 3,2 можно взять D3,2 = 0,05, а D3,20 = 0,005.
а = -17,2986 Dа = 0,002. Округлить а до верных цифр.
Решение: верные: 1,7,2,9 Þ а » -17,30 (но нельзя писать а » -17,3).
с = 3968 Dс = 49. Округлить с до верных цифр.
с » 4000 или с » 40 102 (верные цифры записываются в мантиссе).
В приближенных вычислениях иногда используют понятие верной значащей цифры в нестрогом (широком) смысле: если абсолютная погрешность числа не превосходит единицы того разряда, где находится значащая цифра, то эта цифра называется верной в нестрогом (широком) смысле, т.е. Dа 1 10к.
Пример: а = 5,6307 Dа = 0,006
5: 1 0,006 верная;
6: 0,1 0,006 верная;
3: 0,01 ³ 0,006 Þ верная;
0: 0,001 0,006 Þ сомнительная.
Если не оговаривается, то имеют в виду понятия верной цифры первого определения (т.е. строгом (узком) смысле).
Правило записи приближенных чисел:
В промежуточных результатах вычислений обычно сохраняются 1-2 сомнительные цифры, а окончательные результаты округляют с сохранением не более одной сомнительной цифры.
Правила записи знаков точного и приближенного равенств: «=» и «»».
Знак «»» применяется каждый раз, когда точное значение величины или выражения заменяется его приближенным значением.
Пример: cos 0,502 » 0,87662
» » 1,772
Если величина по определению неоднозначна, то между ней и ее значением, а также между ее различными значениями ставим знак «=», даже если имеются переходы к приближениям
При округлении всех чисел, за исключением значений неоднозначно определяемых величин, между ними и результатами их округления ставится знак «»».
1.4. Относительная погрешность приближенных чисел.
При приближенных измерениях вычислениях возникает потребность в характеристике качества проделанной работы.
Определение. Относительная погрешность приближенного числа а 0 называется неотрицательное число а = .
Из определения следует Dа = а а
Относительную погрешность (как и абсолютную) записывают с одной - двумя значащими цифрами и округляют при необходимости с избытком.
Часто относительная погрешность выражается в процентах:
а = 100%.
Пример. Найдена масса одного предмета а = 510,4 кг с точностью до 0,1 кг и с такой же точностью в = 0,6 кг.
Хотя Dа = Dв = 0,1, первое измерение лучше, чем второе.
а = 100% = = 0,0002 или 0,02%
в = 100% = = 0,17 или 17%
1.5. Оценка влияния погрешностей аргументов на значения функции.
Пусть дана функция одной или нескольких переменных и вычисляется ее значение.
Возможны два случая:
Все аргументы функции являются точными числами;
Среди аргументов есть приближенные числа.
Тогда в 1 случае погрешность значения функции фактически зависит только от способов вычисления. Если применяется приближенная формула, надо знать оценку погрешности формулы.
Во 2 случае к погрешности метода вычисления добавляется погрешность, вызванная погрешностями аргументов. Возникает проблема оценки этой погрешности.
Методы решений нелинейных уравнений.
Пусть необходимо определить корень уравнения f(x)=0 (1). Если уравнение 1 удается делить аналитически, то нет смысла использовать численные методы. При использовании численных методов обычно удается определить приближенный корень с заранее заданной точностью ε. Число называют приближенным корнем уравнения 1 с заданной точностью ε, если число отличается от точного корня ξ (который невозможно определить) не более чем на заданную точность ε, или при выполнение неравенства (2).
Приближенные корни уравнения 1 отыскиваются в 2 этапа, а именно:
отделение корней;
уточнение корней.