Тема: Представление кривых линий в КГ

1. Параметрические уравнения

Кривые можно представлять аналитически, как график функции и графически. Аналитически это записывают так: y = f(x), что означает " у – это функция, значение которой зависит от значения х. Например, простейшая функция у = 2х означает простую зависимость: каждое значение у в два раза больше любого значения х. График этой функции есть прямая линия, проходящая через начало координат (рис. 1.1).

Более сложный вид представляют собой тригонометрические функции, например синусоида: у = sin х

График такой кривой известен каждому (рис. 1.2).

Рис. 1.1 График функции у = 2х

Рис. 1.2. График функции у = sinx

Такой способ представления функции, и ее графическое изображение называют явным. Он позволяет относительно просто построить график. Однако у этого способа с точки зрения графического представления имеются существенные недостатки.

• Каждому значению х соответствует только одно значение у. Это не дает возможности начинать новый фрагмент кривой в произвольном месте.

• Кривая не может быть замкнутой.

В результате явный способ представления нельзя применять там, где требуется описание произвольных кривых, размещаемых в произвольных местах плоскости.

Другой способ - определение кривой как параметрической функции.

У такого способа обе координаты (х и у) равноправны, потому что каждую из них вычисляют как функции некоторого вспомогательного параметра, обозначаемого, часто символом t. В общем случае такая зависимость получает вид:

q(t) = {x(t), y(t)},

где х(t) и y(t) – функции параметра t.

Задавая одинаковые значения параметра t, функция x(t) вычисляет значения координаты х, а функция y(t) – значения координаты у. Это очень важная особенность задания функции.

Пример – как можно понимать термин «параметр»

Можно представить, что значения параметра t – это отсчеты времени, в течение которого происходит перемещение определенной частицы вдоль произвольной кривой, например окружности. Параметрическая функция q(t) позволит получать пары координат {х, у}, по которым перемещается точка в различные моменты (значения) времени t. Хотя, в общем случае, не обязательно параметр t связывать со временем.

Второе важное качество параметрических кривых состоит в том, что они имеют более разнообразные формы, чем это позволяют явные уравнения.

Другой пример применения и понимания параметра. Графики синусоиды и косинусоиды в явном виде не позволяют замкнуть линию, а две параметрические функции

x(t) = cost

y(t) = sint

создают окружность, если t "пробегает" значения между 0 и 360 градусов.

Справка из вики с добавками. Параметрическое представление функции – это выражение функциональной зависимости между несколькими переменными введением вспомогательных переменных. Такие переменные принято называть "параметрами". Если мы располагаем двумя переменными, например, по оси х и по оси у, то зависимость между ними можно рассматривать как уравнение плоской кривой. Например, координаты х и у точек этой кривой определяются некоторым параметром, скажем, величиной t. Величину t определяют как некоторый диапазон непрерывных или дискретных значений, в пределах которого для данной задачи существует эта функция. В трехмерной графике параметр вводится точно также, и представление пространственных кривых через посредство параметра t обеспечивает более простой способ графического их изображения.

Применение параметрических функций делает возможным применять в КГ более сложные функции и стыковать в гладкие кривые. Их визуализация – это некоторая геометрическая модель, для которой находят последовательность отдельных точек. Точки затем необходимо соединить, т.е. выполнить графическую аппроксимацию в межточечном пространстве. Если она линейная, то точки соединяют отрезками прямых и получают кривую с угловыми изгибами - некоторое грубое приближение к той кривой, что имеется в действительности. Кривая будет лишена ГЛАДКОСТИ или впечатления гладкости. Требуется неизбежная замена прямолинейных сегментов кривыми, которые способны обеспечить необходимую гладкость. До решения такой задачи потребуется более точно определить понятие гладкости.