Тема: Представление кривых линий в КГ
Параметрические уравнения
Кривые можно представлять аналитически, т. е. как график функции и графически. Математики записывают это в виде: y = f(x), что означает " у – это функция, значение которой зависит от значения х. Например, простейшая функция у = 2х означает простую зависимость: каждое значение у в два раза больше любого значения х. График этой функции есть прямая линия, проходящая через начало координат (рис. 1.1).
Более сложный вид представляют собой тригонометрические функции, например синусоида: у = sin х
График такой кривой известен каждому (рис. 1.2).
Рис.
1.1
График функции у = 2х
Рис.
1.2. График
функции у = sinx
Такой способ представления функции и ее графика называют явным. Он позволяет относительно легко строить график. Однако у этого способа с точки зрения графического представления имеются существенные недостатки.
Каждому значению х соответствует только одно значение у. Это не дает возможности начинать новый фрагмент кривой в произвольном месте.
Кривая не может быть замкнутой.
В результате явный способ представления нельзя применять там, где требуется описание произвольных кривых, размещаемых в произвольных местах плоскости.
Альтернативный способ - определение кривой как параметрической функции.
У такого способа обе координаты (х и у) равноправны, т. е. обе координаты вычисляют как функции некоторого вспомогательного параметра, обозначаемого, часто символом t. В общем случае такая зависимость получает вид:
q(t) = {x(t), y(t)},
где х(t) и y(t) – функции параметра t.
Задавая одинаковые значения t, функция x(t) вычисляет значения координаты х, а функция y(t) – значения координаты у. Это очень важная особенность задания функции.
Знакомый пример
Можно представить, что значения параметра t – это отсчеты времени, в течение которого происходит перемещение определенной частицы вдоль произвольной кривой, например окружности. Параметрическая функция q(t) позволит получать пары координат {х, у} , по которым перемещается точка в различные моменты (значения) времени t. Хотя, в общем случае, не обязательно параметр t связывать со временем.
Второе важное качество параметрических кривых состоит в том, что они имеют более разнообразные формы, чем это позволяют явные уравнения.
Еще пример. Графики синусоиды и косинусоиды в явном виде не позволяют замкнуть линию, а две параметрические функции
x(t) = cost
y(t) = sint
создают окружность, если t "пробегает" значения между 0 и 360 градусов.
Справка. Параметрическое представление функции – это выражение функциональной зависимости между несколькими переменными введением вспомогательных переменных, которые принято называть "параметрами". Если мы располагаем двумя переменными, например, по оси х и по оси у, то зависимость между ними можно рассматривать как уравнение плоской кривой. Например, координаты х и у точек этой кривой определяются каким-то параметром, скажем, величиной t, которую определяют как некоторый диапазон непрерывных или дискретных значений. Особенно важно такое представление для пространственных кривых, поскольку обеспечивает более легкий способ построения графиков.
Применение параметрических функций делает возможным применять более сложные функции, а не только линейную аппроксимацию, поскольку один из основных недостатков аппроксимации прямыми заключается в образовании угловых изгибов, которые не создают впечатления гладкости. Поэтому неизбежной заменой прямолинейным сегментам могут быть только кривые, которые способны обеспечить требуемую гладкость (забегая вперед, можно сказать, что речь идет о кривых Безье и NURBS-кривых, наиболее часто применяемых в компьютерной графике). Но сначала более точно определим понятие гладкости.