2.8.2. Критерий устойчивости Найквиста

Позволяет определить устойчивость замкнутой САУ по АФЧХ ее разомкнутой цепи. Предварительно необходимо определить устойчивость разомкнутой САУ.

Если исходная система является одноконтурной, состоящей из последовательно включенных звеньев, то задача анализа разомкнутой САУ решается просто. Полюсы отдельных звеньев одновременно являются полюсами разомкнутой системы, следовательно, на основании вида этих полюсов можно сделать вывод об устойчивости разомкнутой САУ.

Если исходная система является многоконтурной, то определение устойчивости разомкнутой САУ усложняется. Пусть тем или иным способом эта задача решена. Если разомкнутая САУ оказывается неустойчивой, то требуется дополнительно определить число полюсов m с положительной действительной частью. В случае невозможности определения величины m критерий Найквиста использовать нецелесообразно.

Различают три случая применения критерия Найквиста.

2.8.2.1 Разомкнутая САУ устойчива. Формулировка критерия устойчивости может быть различной в зависимости от вида АФЧХ. Последние делят на АФЧХ первого рода и АФЧХ второго рода.

Амплитудно-фазовая частотная характеристика первого рода имеет в левой полуплоскости комплексной плоскости не более одной точки пересечения с действительной осью (рис. 2.60).

Рисунок 2.60

Амплитудно-фазовая частотная характеристика второго рода имеет в левой полуплоскости комплексной плоскости несколько точек пересечения с действительной осью (рис. 2.61).

Обобщенная формулировка критерия Найквиста: для устойчивости замкнутой САУ необходимо и достаточно, чтобы АФЧХ разомкнутой системы при изменении частоты от 0 до не охватывала точку с координатами .

Данную формулировку критерия легко использовать для визуального анализа устойчивости САУ с АФЧХ первого рода. Так, замкнутая система управления, АФЧХ разомкнутой цепи которой приведена на рисунке 2.60, является устойчивой, а на рисунке 2.62 – неустойчивой.

Рисунок 2.61

Рисунок 2.62

Если АФЧХ проходит через точку с координатами (рис. 2.63), то замкнутая САУ находится на границе колебательной устойчивости.

Рисунок 2.63

Отметим, что приведенный на рисунке 2.60 пример иллюстрирует так называемую абсолютно устойчивую САУ. Это значит, что система остается устойчивой при любом уменьшении коэффициента усиления k разомкнутой цепи.

Действительно, длина вектора , проведенного из начала координат в точку АФЧХ, соответствующую частоте (рис. 2.60), равна коэффициенту усиления k разомкнутой цепи. Поэтому при уменьшении k точка пересечения АФЧХ с действительной осью (в левой полуплоскости) приближается к началу координат и охват АФЧХ критической точки невозможен.

Использование обобщенной формулировки критерия Найквиста для визуального анализа АФЧХ второго рода часто не позволяет сделать однозначный вывод об устойчивости САУ. Поэтому был разработан критерий на основе понятия переходов АФЧХ участка действительной оси .

Положительным переходом (при возрастании частоты ) называется переход участка из верхней полуплоскости в нижнюю; отрицательным переходом – из нижней полуплоскости в верхнюю (рис. 2.64).

Рисунок 2.64

Если при АФЧХ начинается на отрезке , то имеем ( ) перехода (рис. 2.64).

Формулировка критерия Найквиста на основе понятия переходов: замкнутая САУ устойчива, если число положительных и отрицательных переходов АФЧХ отрезка действительной оси одинаково.

Так, АФЧХ, приведенная на рисунке 2.61, имеет на отрезке один отрицательный и один положительный переход. Следовательно, замкнутая САУ устойчива.

Последний пример иллюстрирует так называемую условно-устойчивую САУ. Это значит, что система остается устойчивой при изменении k в некотором диапазоне. Как уменьшение, так и увеличение k приведет к изменению числа положительных (отрицательных) переходов и к неустойчивости замкнутой САУ.

2.8.2.2 Разомкнутая САУ на границе апериодической устойчивости. В этом случае передаточная функция разомкнутой САУ имеет вид (2.154), а ее характеристический полином содержит нулевых корней. Особенностью АФЧХ является то, что при она перемещается от положительной действительной полуоси по дуге бесконечно большого радиуса на угол – рисунок 2.65.

На данном рисунке приведена АФЧХ первого рода с , и для анализа устойчивости применяется обобщенная формулировка критерия Найквиста. В данном примере замкнутая САУ является абсолютно устойчивой.

Рисунок 2.65

На рисунке 2.66 представлена АФЧХ первого рода с . Замкнутая САУ также является абсолютно устойчивой.

Рисунок 2.66

Рисунок 2.67 иллюстрирует АФЧХ второго рода с . Для анализа устойчивости используется формулировка критерия Найквиста на основе понятия переходов.

Рисунок 2.67

В данном примере замкнутая САУ является условно устойчивой.

Из рисунков 2.65–2.67 следует, что абсолютная устойчивость возможна только при числе нулевых корней . В случае может быть получена только условная устойчивость.

2.8.2.3 Разомкнутая САУ неустойчива. Формулировка критерия: замкнутая САУ, имеющая в разомкнутом состоянии m полюсов в правой полуплоскости, будет устойчивой, если разность q между числом всех положительных и отрицательных переходов АФЧХ отрезка действительной оси равна .

Так, на рисунке 2.68 приведена АФЧХ системы, имеющей в разомкнутом состоянии один полюс в правой полуплоскости .

Рисунок 2.68

На отрезке действительной оси АФЧХ имеет перехода. Тогда разность между числом положительных и отрицательных переходов

.

Следовательно, в замкнутом состоянии САУ устойчива.

На рисунке 2.69 приведена АФЧХ системы, имеющей в разомкнутом состоянии два полюса в правой полуплоскости .

Рисунок 2.69

На отрезке действительной оси АФЧХ имеет один положительный и один отрицательный переход. Тогда разность между числом положительных и отрицательных переходов

.

Следовательно, данная САУ в замкнутом состоянии неустойчива.

Достоинством критерия Найквиста является возможность использования снятых экспериментально частотных характеристик, когда ввиду сложности исследуемой САУ трудно получить ее математическое описание.