27(1). Интеграл Лебега.
f:ER, E(f>0)={xE: f(x)>0}
E(f>a)={xE: f(x)>a} (совокупность всех тех х из Е, где f(x)>a)
Опр.Функция f называется измеримой, если
1) Е – измеримо;
2) аR E(f>a) – измеримо.
Утв. Непрерывная функция на отрезке – измеримая функция.
Пусть f – измеримая ограниченная функция на измеримом ограниченном множестве Е. Существуют А и В такие, что Аf(x)В хЕ. Разобьем отрезок [А,В]: А=у0<y1<…<yn=B. Это разбиение обозначим через Т. Обозначим через ек=Е(ук-1fyk) k=1,2,…,n. Множества ек– измеримы, т.к. ек =Е(fyk-1)E(fyk).
Рассмотрим множества еi и ej и ij, для определенности будем считать, что i<j. Пусть х еi уi-1fyi , если х еj уj-1fyj уiyj , т.е. f(x)уiyj . Эти множества не пересекаются, т.е. еi ej =, , если к этому равенству применить аддитивность, то получим . Возьмем параметр разбиения . Введем суммы Лебега: нижняя сумма и верхняя . Рассмотрим разность сумм
Любая нижняя сумма ограничена сверху некоторым вещественным числом и u<S
Любая верхняя сумма ограничена снизу некоторым вещественным числом и u<v
suvS 0u-sv-sS-s, но S-smE0. Из неравенства uv 0v-u, т.к. Sv v-uS-uS-s . Перейдем к пределу при 0 получим 0v-u0 v-u=0 v=u.
Опр. Интегралом Лебега функции f по множеству Е называется общее значение чисел u и v и обозначается . Интеграл определяется функцией f множества E и числами A и B, при этом он определен для всякой измеримой ограниченной функции и он есть конечное вещественное число
Теорема. (о среднем) Пусть на измеримом ограниченном множестве Е задана измеримая, ограниченная функция f, af(x)b, xE, тогда
Возьмем nN, , . Тогда An<af(x)b<Bn , An и Bn – верхняя и нижняя границы. An=у0<у1…уm= Bn . Строим по этому разбиению нижнюю сумму
yk-1An и yk-1Bn тогда
, т.к. перейдем к пределу при 0
далее перейдем к пределу при n0 .
Опр. Те множества, которые находятся во взаимнооднозначном соответствии с N называется счетным. Множество всех целых чисел счетно.
Теорема (о полной аддит. интеграла Лебега).
Пусть ограниченное измеримое множество Е представлено в виде объединения попарно не пересекаемых счетного или конечного числа измеримых множеств Ек , т.е. ЕiЕj=,ij. Тогда .
Утв.(аддитивность относительно функции)
Пусть на ограниченном измеримом множестве заданы две измеримые ограниченные функции f и g. Тогда
Утв.(монотонность) Пусть на ограниченном измеримом множестве Е заданы две измеримые ограниченные функции f и g такие, что f g на Е. Тогда .
Теорема. Пусть на ограниченном измеримом множестве Е задана измеримая ограниченная функция f. Для того чтобы функция f была интегрируемой по Риману необходимо и достаточно, чтобы мера множества точек разрыва этой функции равнялась нулю.
Теорема. Если ограниченная измеримая функция f интегрируема по Риману, то эта функция интегрируема по Лебега, причем интегралы (в смысле Римана и в смысле Лебега) совпадают.
Обратное утверждение не верно.