- •Введение
- •Взаимосвязи экономических переменных
- •Суть корреляционного и регрессионного анализа
- •Типы моделей
- •Парный регрессионный анализ
- •Модель парной линейной регрессии
- •Причины существования случайной компоненты в уравнении регрессии
- •Этапы построения уравнения регрессии
- •Регрессия по методу наименьших квадратов
- •Интерпретация уравнения регрессии
- •Анализ общего качества уравнения регрессии
- •Свойства коэффициентов регрессии
- •Предположения о случайном члене. Условия Гаусса-Маркова
- •Первое условие Гаусса-Маркова:
- •Второе условие Гаусса-Маркова:
- •Третье условие Гаусса-Маркова:
- •Четвертое условие Гаусса-Маркова:
- •Предположение о нормальности
- •Анализ точности определения оценок коэффициентов уравнения регрессии
- •Проверка гипотез о значимости коэффициентов уравнения регрессии
- •Интервальные оценки
- •Интервальные оценки коэффициентов уравнения регрессии
- •Доверительный интервал для зависимой переменной
- •Множественный регрессионный анализ
- •Модель множественной регрессии
- •Мультиколлинеарность
- •Построение регрессионной модели
- •Невключение в уравнение существенной переменной
- •Включения в модель несущественной переменной
- •Отбор наиболее существенных объясняющих переменных
- •Замещающие переменные
- •Нелинейные модели регрессии
- •Гетероскедастичность и автокорреляция
- •Гетероскедастичность и ее последствия
- •Обнаружение гетероскедастичности
- •Тест ранговой корреляции Спирмена
- •Тест Голдфелда—Квандта
- •Тест Уайта
- •Взвешенный метод наименьших квадратов
- •Автокорреляция и связанные с ней факторы
- •Обнаружение автокорреляции первого порядка. Критерий Дарбина—Уотсона
- •Вопросы к экзамену
- •Литература
Обнаружение автокорреляции первого порядка. Критерий Дарбина—Уотсона
Начнем с частного случая, в котором автокорреляция подчиняется авторегрессионной схеме первого порядка:
. |
(8) |
Это означает, что величина случайного члена в любом наблюдении равна его значению в предшествующем наблюдении (т.е. его значению в период ), умноженному на , плюс новый . Данная схема оказывается авторегрессионной, поскольку и определяется значениями этой же самой величины с запаздыванием, и схемой первого порядка, потому что в этом простом случае максимальное запаздывание равно единице. Предполагается, что значение в каждом наблюдении не зависит от его значений во всех других наблюдениях. Если положительно, то автокорреляция положительная; если отрицательно, то автокорреляция отрицательная. Если , то автокорреляции нет и третье условие Гаусса-Маркова удовлетворяется.
Конечно, мы не располагаем способом измерения значений случайного члена, поэтому мы не можем оценить регрессию (8) непосредственно. Тем не менее мы можем оценивать путем оценивания регрессионной зависимости от с использованием обычного МНК. При этом – оценка равна
. |
(9) |
Так как среднее значение остатков равно нулю, (среднее значение остатков в наблюдениях от 1 до ) и (среднее значение остатков в наблюдениях от 2 до ) будут близки к нулю, если выборка достаточно велика, и
, . |
(10) |
Следовательно,
. |
(11) |
Широко известная статистика Дарбина-Уотсона ( или ) определяется следующим образом:
. |
(12) |
Можно показать, что в больших выборках
. |
(13) |
Если автокорреляция отсутствует, то , и поэтому величина должна быть близкой к двум. При наличии положительной автокорреляции величина , вообще говоря, будет меньше двух; при отрицательной автокорреляции она, вообще говоря, будет превышать 2. Так как должно находиться между значениями 1 и –1, то d должно лежать между 0 и 4.
Рис. 6. 5. Тест Дарбина-Уотсона на автокорреляцию (предполагаемая положительная автокорреляция)
Критическое значение при любом данном уровне значимости зависит, как можно предполагать, от числа объясняющих переменных в уравнении регрессии и от количества наблюдений в выборке. К сожалению, оно также зависит от конкретных значений, принимаемых объясняющими переменными. Поэтому невозможно составить таблицу с указанием точных критических значений для всех возможных выборок, но можно вычислить верхнюю и нижнюю границы для критического значения . Для положительной автокорреляции они обычно обозначаются как и .
Рис. 6. 6. Тест Дарбина-Уотсона на автокорреляцию (предполагаемая отрицательная автокорреляция)
На рис. 6.5 и рис. 6.6 данная ситуация представлена в виде схемы; отмечен критический уровень , который обозначается как . Разберемся подробнее с рис 1. Если бы мы знали значение , то могли бы сравнить с ним значение , рассчитанное для нашей регрессии. Вместе с тем мы знаем только, что находится где-то между и . Это предполагает наличие трех возможностей:
Величина меньше, чем . В этом случае она будет также меньше, чем , и поэтому мы сделаем вывод о наличии положительной автокорреляции.
Величина больше, чем . В этом случае она больше критического уровня, и поэтому мы не сможем отклонить нулевую гипотезу об отсутствии автокорреляции.
Величина находится между и . В этом случае она может быть больше или меньше критического уровня. Поскольку нельзя определить, которая из двух возможностей налицо, мы не можем ни отклонить, ни принять нулевую гипотезу.
В случаях 1 и 2 тест Дарбина-Уотсона дает определенный ответ, но случай 3 относится к зоне невозможности принятия решения, и изменить создавшееся положение нельзя.
Проверка на отрицательную автокорреляцию проводится по аналогичной схеме, причем зона, содержащая критический уровень, расположена симметрично справа от 2.