2.3. Статистическая оценка интенсивности отказов

Статистическая оценка λ^* интенсивности отказов λ(t) в точке t может быть выполнена на основании опытных данных как отношение числа образцов техники, отказавших в единицу времени, к среднему числу образцов, исправно работающих на промежутке времени [t,t+Δt], то есть

λ (t) λ^*(t) = . (1.10)

Здесь N_ср=0.5·[N(t)+N(t+Δt)] – среднее число элементов, исправно работающих на промежутке времени [t,t+Δt], Δn=Δn(t,t+Δt)= – это число элементов, отказавших на этом промежутке.

Статистическая оценка λ^*(t) интенсивности отказов в момент времени t есть средняя интенсивность отказов, которая показывает, какая часть элементов выходит из строя в единицу времени по отношению к среднему числу элементов, исправно работающих в этот момент времени.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Вероятность P(t) безотказной работы объекта – это вероятность того, что в пределах заданной наработки t, то есть на промежутке времени [0, t], отказа объекта не произойдет:

P(t) = P{ T ≥ t }.

Функция P(t) монотонно не возрастает с ростом t. Она удовлетворяет двум следующим соотношениям: P(0)=l и P(t)→0 при t→∞.

Если P(t) – дифференцируемая функция, то P^’(t)≤0.

Средняя наработка до отказа – это статистическая оценка математического ожидания времени до первого отказа, и она может быть выполнена по формуле

MT T^* ≡ T _ср=

где t_i – это время исправной работы (наработка до отказа) i-го объекта.

Математическое ожидание MT наработки до отказа объекта – это первый момент распределения случайной величины T – времени до отказа.

Так как наработка до отказа T – непрерывная величина, то её математическое ожидание вычисляется по формуле

Интегрируя по частям и учитывая равенства f(t)=–P^’(t)=Q^’(t), P (0)=1и Q(∞)=0, последнюю формулу можно привести к виду

,

где P(t) – это вероятность безотказной работы в течение наработки t.

Гамма-процентная (γ-процентная) наработка до отказа – это наработка, в течение которой отказ объекта не произойдет с вероятностью γ, выраженной в процентах.

Средняя наработка на отказ – это случайная величина, опытное значение которой после n отказов вычисляется по формуле

Т_0.ср =

где Δt_i – это время исправной работы объекта на i-м промежутке между двумя соседними отказами (то есть между (i –1)-м и i -м отказами).

Интенсивность отказов можно определить как отношение

λ(t) = ,

где P(t) – вероятность безотказной работы объекта на промежутке [0, t], Q^’(t) – первая производная функции Q(t) – вероятности отказа объекта на этом промежутке.

Функция интенсивности отказов λ(t) – это услов­ная плотность вероятности того, что система, проработав­шая безотказно время t, откажет сразу после его истечения.

В силу соотношений (1.2) и (1.8) функция интенсивности отказов равна

λ(t) = .

Если разбить промежуток [0, t] наблюдения за работой объекта на k частичных промежутков Δ_i, то статистической оценкой вероятности P(t) безотказной работы объекта на всем промежутке [0, t] может служить отношение

, (N≤N₀).

Здесь n_i – это число объектов, отказавших на i-м промежутке времени Δ_i (i=1,2,…n),

N ₀ – общее число испытанных за время t объектов,

N – число объектов, исправно проработавших в течение этого времени.

Статистической оценкой f^*(t) частоты отказов служит отношение числа отказавших в единицу времени объектов к их начальному числу N(0) при условии, что отказавшие элементы не восстанавливаются:

f(t) f^*(t) =

Разность в числителе выражает число элементов, отказавших на промежутке времени (t + , t – ).

Статистическая оценка λ^* интенсивности отказов λ(t) в точке t может быть выполнена на основании опытных данных как отношение числа n образцов техники, отказавших в единицу времени, к среднему числу образцов, исправно работающих на промежутке времени [t,t+Δt], то есть

λ (t) λ^*(t) =

Здесь N_ср=0.5·[N(t)+N(t+Δt)] – среднее число элементов, исправно работающих на промежутке времени [t,t+Δt], Δn=Δn(t,t+Δt)= – это число элементов, отказавших на этом промежутке.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Лялькина Г.Б. Надежность технических систем и техногенный риск. Ч. 1. – Пермь: Изд-во Перм. гос. техн. ун-та, 2011. – 90 с.

2. Половко А.М., Гуров С.В. Основы теории надежности. – СПб.: БХВ-Петербург, 2006. – 704 с.

3. ГОСТ 27.002-83. Надежность в технике. Технологические системы. Методы оценки надежности по параметрам качества изготавливляемой продукции.

4. Гнеденко Б.В., Беляев Ю.К., Соловьев А.Д. Математические методы в теории надежности. - М., Наука, 1965.

11