Глава 6. Евклидовы пространства

§ 1. Действительные евклидовы пространства

Определение. Говорят, что на действительном линейном пространстве задана операция скалярного произведения, если задан закон, по которому каждой паре элементов ставится в соответствие действительное число, которое называется их скалярным произведением, обозначается и удовлетворяет следующим аксиомам:

1*. .

2*. .

3*.

4*. причем .

Простейшие следствия из аксиом

1º.

► [1*] = [2*] = = [1*] = ◄

2º.

► = [1*] = = [3*] = = [1*] = ◄

3º.

► ◄

Итак, скалярное произведение на действительном линейном пространстве – это функция двух векторных аргументов. На основании второй и третьей аксиом она линейна по первому аргументу, а на основании следствий из аксиом – линейна и по второму, т. е. это билинейная форма. Из первой аксиомы вытекает, что эта билинейная форма симметрична, а из четвертой – что она еще и положительно определена. Таким образом, скалярное произведение на действительном линейном пространстве – это положительно определенная симметричная билинейная форма.

Определение. Действительным евклидовым (или просто евклидовым) пространством называется действительное линейное пространство, в котором задана операция скалярного произведения.

Примеры действительных евклидовых пространств

1. Пространство свободных векторов с введенным в нем обычным скалярным произведением . Очевидно, всем аксиомам скалярного произведения оно удовлетворяет (эти аксиомы просто «списаны» со свойств обычного скалярного произведения).

2. Пространство , в котором скалярное произведение задается равенством

(см. § 5 гл. 3).

3. Пространство непрерывных на отрезке функций, в котором скалярное произведение задается так:

.

Очевидно, трем первым аксиомам скалярного произведения оно удовлетворяет. Проверка четвертой аксиомы – несложное упражнение из математического анализа.

Евклидово пространство будем обозначать буквой . Если соответствующее ему линейное пространство n-мерно, то и евклидово называется n-мерным и обозначается .

Псевдоевклидово пространство

Иногда в определении скалярного произведения на действительном линейном пространстве отказываются от положительной определённости билинейной формы, заменяя её невырожденностью, т. е. называют скалярным произведением симметричную невырожденную билинейную форму. Действительное линейное пространство с введенным таким образом скалярным произведением называется псевдоевклидовым.

Примером псевдоевклидова пространства является пространство

,

в котором операция скалярного произведения задана так:

.

Это пространство называется пространством Минковского (или пространство-время).

Упражнение. Верны ли в пространстве Минковского утверждения: ? ?

§ 2. Комплексные евклидовы (унитарные) пространства

Определение. Говорят, что на комплексном линейном пространстве задана операция скалярного произведения, если задан закон, по которому каждой паре элементов ставится в соответствие комплексное число, которое называется их скалярным произведением, обозначается и удовлетворяет следующим аксиомам:

1*. .

2*. .

3*.