- •Глава 4. Линейные операторы
- •§ 1. Понятие отображения
- •3. Такой, что
- •§ 2. Определение линейного оператора и его простейшие свойства
- •Примеры линейных операторов
- •Простейшие свойства линейного оператора
- •§ 3. Матрица линейного оператора Определение матрицы линейного оператора
- •Примеры
- •Связь координат вектора с координатами его образа
- •Изменение матрицы линейного оператора при изменении базиса
- •§ 4. Геометрический смысл определителя линейного оператора
- •§ 5. Операции над линейными операторами
- •§ 6. Невырожденные линейные операторы
- •§ 7. Обратный линейный оператор
- •§ 8. Изоморфизм линейных пространств
- •Свойства изоморфизма
- •§ 9. Образ и ядро линейного оператора
- •По теореме 3.3 систему (4.30) можно дополнить до базиса
- •§ 10. Теорема о ранге произведения линейных операторов
- •§ 11. Линейные формы
- •§ 12. Собственные векторы линейного оператора
- •Свойства собственных векторов
- •§ 13. Правило нахождения собственных векторов
- •§ 14. Приведение квадратной матрицы к диагональному виду
- •Правило приведения квадратной матрицы к диагональному виду над полем р
- •§ 15. Присоединенные векторы линейного оператора
- •Правило нахождения присоединенных векторов
- •§ 16. Жорданова нормальная форма матрицы
- •Некоторые свойства жордановой матрицы
Глава 4. Линейные операторы
§ 1. Понятие отображения
Пусть Х и Y – множества элементов произвольной природы. Говорят, что задано отображение (читается: отображение f множества X во множество Y), если задан закон, по которому каждому элементу ставится в соответствие вполне определенный элемент (рис. 4.1).
Рис. 4.1
Если , то называется образом элемента ; – прообразом элемента при отображении f.
П римерами отображений являются функции, которые изучаются в школьном курсе математики и в математическом анализе, например, функция – отображение . Классный журнал является примером отображения множества учеников в классе во множество всех фамилий.
Отображение называется тождественным, если оно любой элемент оставляет на месте. Тождественное отображение множества X на себя будем обозначать . Таким образом, .
Отображение называется взаимно однозначным (или биективным, или биекцией), если оно удовлетворяет двум условиям:
1. такой, что .
2.
или одному, эквивалентному им, третьему условию:
3. Такой, что
Хороший пример взаимно однозначного отображения: в театре дают билет, каждому билету соответствует некоторое кресло, причем только одно.
Отображения и называются равными, если .
Пусть заданы отображения и . Произведением (или композицией) отображений f и g называется отображение такое, что (рис. 4.2).
Рис. 4.2
Замечание. В произведении отображений сначала действует внутреннее, а затем внешнее отображение.
Примером произведения отображений является сложная функция.
Лемма 4.1. Произведение отображений ассоциативно, т. е. если заданы отображения , и , то
.
Для доказательства равенства отображений и нужно показать, что .
Итак, выберем произвольное . Тогда
; (4.1)
(4.2)
Сравнивая (4.1) и (4.2), видим, что : и поэтому, .
Отображение называется обратным к отображению , если и (рис. 4.3).
Рис. 4.3
Упражнение. Докажите следующие утверждения
1. Для того чтобы отображение f имело обратное, необходимо и достаточно, чтобы f было взаимно однозначным.
2. Если отображение имеет обратное, то это обратное определяется однозначно.
§ 2. Определение линейного оператора и его простейшие свойства
Определение. Пусть и – линейные пространства над одним и тем же полем . Отображение называется линейным оператором, если оно удовлетворяет следующим условиям:
1*.
2*.
Следствие. При линейном операторе образ линейной комбинации векторов равен такой же линейной комбинации их образов, т. е. если – линейный оператор, то :
(4.3)
Доказательство проведем методом математической индукции по количеству векторов.
а) n = 1: [2*] – истинно.
б) Предполагая, что утверждение верно для (n-1)-го вектора, доказываем его для n векторов.
= [1*] =
[2* и предположение индукции] =
=