СОДЕРЖАНИЕ

Глава 2. Численные методы математического анализа 2

Часть 1. Интерполирование и приближение функций 2

§1. Интерполирование алгебраическими многочленами 2

п. 1.1. Определение интерполяционного многочлена 2

п. 1.2. Интерполяционная формула Лагранжа 3

п. 1.3. Интерполяционная формула Ньютона 4

п. 1.4. Погрешность интерполяционной формулы 5

§2. Сплайн-интерполирование 6

п. 2.1. Построение кубического сплайна 6

п. 2.2. Метод прогонки 8

§3. Приближение функций эмпирическими формулами 9

п. 3.1. Подбор эмпирической формулы 9

п. 3.2. Подбор параметров для выбранного типа эмпирической формулы 10

п. 3.2.1. Метод средних 10

п. 3.2.2. Среднеквадратичное приближение 11

Часть 2. Численное интегрирование 12

§1. Простейшие квадратурные формулы 12

п. 1.1. Постановка задачи 12

п. 1.2. Формула прямоугольников 13

п. 1.3. Формула трапеций 14

п. 1.4. Формула Симпсона (парабол) 15

§2. Квадратурные формулы интерполяционного типа 16

п. 2.1. Вывод формул 16

п. 2.2. Оценка погрешности 17

§3. Квадратурные формулы наивысшей алгебраической степени точности 18

Глава 2.Численные методы математического анализа Часть 1.Интерполирование и приближение функций

Постановка задачи: Задача интерполирования состоит в том, чтобы по значениям функции в нескольких точках отрезка восстановить ее значение в остальных точках этого отрезка.

Задача интерполирования возникает, например, в том случае, когда известны результаты измерения некоторой физической величины в точках , и требуется определить ее значения в других точках. Кроме того, может оказаться, что функция задается формулой и вычисления ее значений по этой формуле очень трудоемки, поэтому желательно иметь для функции более простую (менее трудоемкую для вычислений) формулу, которая позволяла бы находить приближенное значение рассматриваемой функции с требуемой точностью в любой точке отрезка.

§1. Интерполирование алгебраическими многочленами п. 1.1. Определение интерполяционного многочлена

Пусть на отрезке заданы точки (будем называть их узлами интерполирования), в которых известны значения функции . Задача интерполирования алгебраическими многочленами состоит в том, чтобы построить многочлен степени

, (1.1)

значения которого в заданных точках совпадают со значениями функции в этих точках.

Для любой непрерывной функции сформулированная задача имеет единственное решение. Действительно, для отыскания коэффициентов получаем систему линейных уравнений

(1.2)

Определитель этой системы (определитель Вандермонда) отличен от нуля, если среди точек нет совпадающих:

Отсюда следует, что такой многочлен существует и он единственен.

Определение 1.1 Многочлен , удовлетворяющий условию

(1.3)

называется интерполяционным многочленом для функции , построенным по узлам

Решение системы (1.2) можно записать различным образом. Наиболее употребительна запись интерполяционного многочлена в форме Лагранжа и в форме Ньютона.

П. 1.2. Интерполяционная формула Лагранжа

Интерполяционная формула Лагранжа позволяет представить многочлен в виде линейной комбинации значений функции в узлах интерполирования

(1.4)

Найдем явное выражение для коэффициентов . Из условий интерполирования (1.3) получаем

Эти соотношения будут выполнены, если на функции наложить условие

Они означают, что каждая из функций ,

Имеет не менее нулей на . Поскольку многочлен степени , коэффициенты естественно искать также в виде многочлена степени , а именно в виде

Из условия находим

Таким образом, коэффициенты интерполяционного многочлена (1.4) находятся по формулам

(1.5)

Часто коэффициенты записываются в другом виде. Введем многочлен степени :

(1.6)

и вычислим его производные в точке :

(1.7)

Тогда получим, что

(1.8)

Итак, интерполяционный многочлен Лагранжа имеет вид

(1.9)

или, более подробно,

(1.10)

П. 1.3. Интерполяционная формула Ньютона

Интерполяционная формула Ньютона позволяет выразить интерполяционный многочлен через значения в одном из узлов и через разделенные разности функции , построенные по узлам . Она является разностным аналогом формулы Тейлора

Сначала приведем необходимые сведения о разделенных разностях. Пусть в узлах известны значения функции . Предположим, что среди точек нет совпадающих.

Определение 1.2 Разделенными разностями первого порядка называются отношения

Рассмотрим разделенные разности, составленные по соседним узлам, т.е. выражения . По этим разделенным разностям первого порядка можно построить разделенные разности второго порядка.

Определение 1.3 Разделенными разностями второго порядка называются отношения

,

, …,

.

Аналогично определяются разделенные разности более высокого порядка.

Определение 1.4 Если известны разделенные разности порядка , , то разделенная разность порядка определяется как

.

При вычислении разделенных разностей принято записывать их в таблицы

			·
		·	·	…
·	·	·	·
·	·	·
·	·

Определение 1.5 Интерполяционным многочленом Ньютона называется многочлен

(1.11)

Замечание1: Интерполяционные формулы Лагранжа (1.10) и Ньютона (1.11) представляют собой различную запись одного и того же многочлена удовлетворяющего условиям интерполирования (1.3).

Замечание2: Интерполяционную формулу Ньютона удобнее применять в том случае, когда интерполируется одна и та же функция , но число узлов интерполирования увеличивается. Если узлы интерполяции фиксированы и интерполируется не одна, а несколько функций, то удобнее пользоваться формулой Лагранжа.