29. Переходные процессы в цепях с конденсатором (короткое замыкание в цепи r, c; подключение цепи r,c к источнику постоянного напряжения). Конденсаторные реле времени.

Переходный процесс в цепи R, C

Положим, что в момент времени t=0 цепь, состоящая из активного сопротивления R и емкости C, включенных последовательно, подключается к источнику напряжения и (рис.1.14). Требуется определить ток и напряжение на элементах цепи во время переходного процесса.

Запишем второй закон Кирхгофа для схемы после коммутации (t 0):

где uc – переходное напряжение на емкости.

С учетом того, что ток , получим:

Таким образом, для схемы, представленной на рис.1.14, после коммутации получено неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка относительно напряжения C u . Общее решение уравнения (1.27) равно сумме частного решения неоднородного дифференциального уравнения и общего решения однородного уравнения :

Если в схеме рис.1.14 исключить источник напряжения u , то получим однородное дифференциальное уравнение для свободного режима:

Составим характеристическое уравнение:

откуда корень уравнения

где – постоянная времени цепи R, C (измеряется в секундах).

Следовательно, свободная составляющая напряжения на емкости

где А – пока неизвестная постоянная интегрирования.

Характер частного решения определяется видом воздействующего на цепь напряжения источника u . Вид общего решения уравнения (1.27) показывает, что представляет собой то значение напряжения на емкости, которое будет достигнуто после окончания переходного процесса. Действительно, при , так как с течением времени затухает. Рассмотрим три случая: подключение цепи R,C к источнику

постоянного напряжения U; короткое замыкание цепи R,C; подключение цепи R,C к источнику синусоидального напряжения .

Короткое замыкание цепи R,C

Предположим, что до коммутации емкость С заряжена до напряжения источника U (рис.1.17). В момент времени t=0 переключатель отключает цепь от источника, и емкость С начинает разряжаться через активное сопротивление R (короткое замыкание цепи). После окончания переходного процесса принужденные (установившиеся) напряжения на R и C, а также принужденный ток будут равны нулю. Следовательно, переходный ток и переходные напряжения в этом случае равны свободным составляющим.

Процесс разряда конденсатора при отсутствии внешнего источника напряжения описывается однородным дифференциальным уравнением:

где .

Характеристическое уравнение и его корень определяются уравнениями (1.29), (1.30). Общее решение уравнения (1.35):

Для определения постоянной интегрирования А используем ненулевое начальное условие на основе второго закона коммутации:

Запишем уравнение (1.36) при t=0:

следовательно, переходное напряжение на емкости во время разряда конденсатора определяется следующим выражением:

Значения разрядного тока и напряжения на R во время переходного процесса:

Соответствующие кривые тока и напряжений во время переходного процесса изображены на рис.1.18,1.19. Знак «минус» в уравнениях (1.38) говорит о том, что ток при разряде конденсатора направлен противоположно току при заряде. В начальный момент разрядный ток максимален и равен , а затем будет уменьшаться экспоненциально до нуля. Переходный процесс может считаться законченным спустя .

С энергетической точки зрения процесс короткого замыкания цепи R,C характеризуется переходом энергии, запасенной до коммутации в электрическом поле конденсатора, в тепло в сопротивлении R.

Подключение цепи R,C к источнику постоянного

напряжения

Схема для принужденного (установившегося) режима представлена на рис.1.15. К концу переходного процесса, когда конденсатор полностью зарядится, на нем устанавливается постоянное напряжение источника U. Действительно, для принужденного режима уравнение (1.27) имеет вид:

Так как , то из уравнения следует, что . Ток в принужденном режиме (после заряда конденсатора до напряжения источника) будет равен нулю .

Таким образом, переходное напряжение на емкости

Для определения постоянной А используем независимое начальное условие. Согласно второму закону коммутации напряжение на емкости в момент включения выключателя остается таким же, как до коммутации. Если в исходном состоянии (до включения выключателя) конденсатор не был

заряжен, то .

Для момента времени t=0 уравнение (1.32) имеет вид:

откуда .

Запишем окончательное выражение для переходного напряжения на емкости:

Ток и напряжение на R во время переходного процесса соответственно:

Графики переходного тока i и переходных напряжений представлены на рис.1.16.

Так как , то при t=0 все напряжение источника приложено к активному сопротивлению , зарядный ток в цепи максимален . С течением времени в процессе заряда конденсатора C u возрастает, стремясь к напряжению источника U, а зарядный ток i уменьшается, стремясь к нулю. Чем больше постоянная времени , тем больше длительность переходного процесса. Через время переходный процесс практически заканчивается, т.е затухает до значения, близкого к нулю.

Постоянная времени может быть определена так же, как для цепи R,L , графически как подкасательная к кривой тока или напряжения в любой точке (например, при t=0).

Характер изменения напряжения на емкости и тока в данной цепи аналогичен соответственно закону изменения тока и напряжения на индуктивности при подключении цепи R,L к источнику постоянного напряжения.

Любая реальная электрическая цепь обладает некоторой паразитной индуктивностью, и ток в такой цепи не может возрастать скачком. Поэтому зарядный ток при подключении цепи R,C к источнику постоянногонапряжения будет нарастать от нуля до максимального значения при малых индуктивностях очень быстро, но не мгновенно, а затем начнет уменьшаться до нуля по экспоненте.

Следует отметить, что во время заряда конденсатора, при любом сочетании параметров R и C, всегда половина энергии, расходуемой источником за время переходного процесса, идет на накопление энергии в электрическом поле конденсатора, а другая – расходуется на тепло, выделяемое в активном сопротивлении.

Конденсаторные реле времени

Реле времени — реле, предназначенное для создания независимой выдержки времени и обеспечения определённой последовательности работы элементов схемы. Реле времени применяется в случаях, когда необходимо автоматически выполнить какое-то действие не сразу после появления управляющего сигнала, а через установленный промежуток времени.

Первыми полупроводниковыми реле времени можно назвать конденсаторные реле времени (смотри выше), в которых в качестве промежуточной цепи между времязадающим RC контуром и выходным электромагнитным реле использовались транзисторы, такие реле назывались транзисторные реле времени.

30) Переходные процессы в цепях постоянного тока с индуктивной катушкой.

Установившимся режимом называется такой режим, при котором токи и напряжения в цепи являются постоянными величинами или периодическими функциями времени (в частности гармоническими). Режим покоя, когда все токи и напряжения в цепи равны нулю также считается установившимся.

В установившемся режиме каждый ток или напряжение имеет постоянную величину (режим постоянного тока ) или постоянные амплитуду, частоту и начальную фазу (режим гармонического тока) (рис. 1.1).

 

Переходным процессом называется режим, при котором токи и напряжения в цепи изменяются от одних установившихся значений до других. Очевидно, во время переходного процесса токи и напряжения в цепи не могут быть постоянными или периодическими. Задача анализа переходных процессов заключается в определении переходных токов и напряжений как функций времениi_k(t) и u_k(t).

Переходный процесс возникает при изменении действующих в цепи задающих функций источников или при внезапном изменении параметров самой цепи (например включение или отключение источника, короткое замыкание участка цепи и т.д.). Изменения в цепи, вызывающие переходный процесс, называются коммутацией. Обычно полагают, что коммутация происходит мгновенно в момент времени t=0 и осуществляется с помощью идеального ключа (рис. 1.2), сопротивление которого равно нулю, если он замкнут, и бесконечно велико, если он разомкнут. 

 Рис. 1.2.

В общем случае переходный процесс занимает некоторое (теоретически бесконечно большое) время. Например, можно услышать как постепенно снижается до нулевой громкость звука работающего радиоприемника при отключении его от источника электропитания.

Любой установившийся режим характеризуется определенным запасом энергии магнитного и электрического полей в каждый момент времени 

 ,

(1.1)

где i_k (u_l) - мгновенный ток (напряжение) в катушке L_k (на конденсаторе C_l ); k и l - индексы суммирования.

В переходном режиме происходит изменение запасенной в цепи энергии и это изменение не может происходить скачкообразно (мгновенно), так как скачкообразное изменение энергии потребует бесконечно больших мощностей P = dW / dt в цепи, что лишено физического смысла.

На основании этого вывода и соотношения (1.1) могут быть сформулированы два закона коммутации при конечных по величине воздействиях в цепи.

1. Ток в любом индуктивном элементе является непрерывной функцией времени и не может изменяться скачком, в частности для момента коммутации t = 0

i_L(0₊) = i_L(0_-) = i_L(0) ,(1.2)

где t = 0_- - момент времени непосредственно предшествующий моменту коммутации; t = 0₊ - момент времени сразу после мгновенной коммутации.

2. Напряжение на любом емкостном элементе является непрерывной фуекцией времени и не может изменяться скачком. В частности для момента коммутации

 

u_C(0₊) = u_C(0_-) = u_C(0) ,(1.3)

Таким образом, токи в индуктивностях и напряжения на емкостях в начальный момент t = 0₊ после коммутации имеют те же значения, что и непосредственно перед коммутацией при t = 0_- и затем плавно изменяются. Заметим, что токи и напряжения на резисторах, а также токи через емкости и напряжения на индуктивностях могут изменяться скачкообразно, так как с ними непосредственно не связана запасаемая в цепи энергия.