2.Інтервальна оцінка математичного сподівання.

Интервальная оценка для математического ожидания

Если дисперсия известна,

 

- двусторонний квантиль значимости α стандартизированного нормального распределения.

 

Если дисперсия неизвестна, то:

 

- двусторонний квантиль значимости α распределения Стьюдента с n-1 степенями свободы.

Билет 10

1.Функція щільності розподілу випадкової величини.

Функция плотности распределения непрерывной случайной величины – это отношение вероятности того, что случайная величина примет значение из интервала [x, x+ x], к длине этого интервала x при xà 0.

Свойства функции:

1. .

2. – вероятность попадания случайной величины в некоторый интервал.

3. Интеграл от функции плотности равен вероятности попадания случайной величины в интервал от -∞ до +∞.

2.Поняття інтервальних оцінок.

Доверительным интервалом уровня значимости α некоторого параметра называется любой интервал (a, b) такой, что:

где α - доверительная вероятность.

 

Интервальной оценкой называется статистическая оценка представленная в виде доверительного интервала.

Билет 11

1.Математичне очікування випадкової величини. Мода і медіана.

Математическое ожидание случайной величины – среднее значение случайной величины. Это не наиболее вероятное значение случайной величины. Случайная величина, в принципе, может не принимать значения, совпадающие с ее математическим ожиданием.

Вероятность принятия непрерывной случайной величиной значения, совпадающего с математическим ожиданием, совпадает с вероятностью принятия ею любого другого фиксированного значения и равна нулю.

Обозначение: M[X], m_x, M.

Математическое ожидание дискретной случайной величины - сумма произведений всех возможных ее значений на вероятности этих значений.

или

 

Для формулы значение M[X] может устремляться к +∞ или -∞.

Математическое ожидание непрерывной случайной величины – координата центра массы для единичной массы, распределенной непрерывно на оси абсцисс с плотностью f(x).

Мода случайной величины – ее наиболее вероятное значение. Обозначение: M_x.

Медиана случайной величины – такое значение , при котором .

2.Вибіркова дисперсія. Оцінка дисперсії.

1. Математическое ожидание не известно.

Выборочной дисперсией называется значение следующего выражения:

 Выборочная дисперсия является оценкой дисперсии генеральной совокупности при неизвестном математическом ожидании.

 

Эта оценка - смещенная, т.е. .

 Исправленная выборочная дисперсия является несмещенной оценкой дисперсии генеральной совокупности при неизвестном математическом ожидании:

2. Математическое ожидание известно.

Выборочная дисперсия при известном математическом ожидании является несмещенной, состоятельной и эффективной оценкой дисперсии генеральной совокупности:

1. Оценка некоторого параметра называется несмещенной, если: . Несмещенность указывает на то, что отсутствует систематическая ошибка измерений.

2. Оценка называется состоятельной, если:

3. Оценка называется эффективной, если она имеет манимальную дисперсию среди всех других оценок данного параметра.