Среднее квадратическое отклонение суммы взаимно независимых случайных величин

Пусть известны средние квадратические отклонения нескольких взаимно независимых случайных величин. Как найти среднее квадратическое отклонение суммы этих величин? Ответ на этот вопрос дает следующая теорема.

Теорема. Среднее квадратическое отклонение суммы конечного числа взаимно независимых случайных величин равно квадратному корню из суммы квадратов средних квадратических отклонений этих величин:

Доказательство. Обозначим через сумму рассматриваемых взаимно независимых величин:

Дисперсия суммы нескольких взаимно независимых случайных величин равна сумме дисперсий слагаемых, поэтому

Отсюда

или окончательно

Одинаково распределенные взаимно независимые случайные величины

Уже известно, что по закону распределения можно найти числовые характеристики случайной величины. Отсюда следует, что если несколько случайных величин имеют одинаковые распределения, то их числовые характеристики одинаковы.

Рассмотрим взаимно независимых случайных величин которые имеют одинаковые распределения, а, следовательно, и одинаковые характеристики (математическое ожидание, дисперсию и др.). Наибольший интерес представляет изучение числовых характеристик среднего арифметического этих величин, чем мы и займемся в настоящем параграфе.

Обозначим среднее арифметическое рассматриваемых случайных величин через :

Следующие ниже три положения устанавливают связь между числовыми характеристиками среднего арифметического и соответствующими характеристиками каждой отдельной величины.

1. Математическое ожидание среднего арифметического одинаково распределенных взаимно независимых случайных величин равно математическому ожиданию каждой из величин:

2. Дисперсия среднего арифметического одинаково распределенных взаимно независимых случайных величин в раз меньше дисперсии каждой из величин:

(*)

3. Среднее квадратическое отклонение среднего арифметического одинаково распределенных взаимно независимых случайных величин в раз меньше среднего квадратического отклонения каждой из величин:

(**)

Общий вывод из формул (*) и (**): вспоминая, что дисперсия и среднее квадратическое отклонение служат мерами рассеяния случайной величины, заключаем, что среднее арифметическое достаточно большого числа взаимно независимых случайных величин имеет значительно меньшее рассеяние, чем каждая отдельная величина.

Начальные и центральные теоретические моменты

Рассмотрим дискретную случайную величину , заданную законом распределения:

	1	2	5	100
	0,6	0,2	0,19	0,01

Найдем математическое ожидание :

Напишем закон распределения :

	2	4	25	10000
	0,6	0,2	0,19	0,01

Найдем математическое ожидание :

Видим, что значительно больше . Это объясняется тем, что после возведения в квадрат возможное значение величины , соответствующее значению величины , стало равным 10 000, т.е. значительно увеличилось; вероятность же этого значения мала (0,01)/

Таким образом, переход от к позволил лучше учесть влияние на математическое ожидание того возможного значения, которое велико и имеет малую вероятность. Разумеется, если бы величина имела несколько больших и маловероятных значений, то переход к величине , а тем более к величинам , и т.д., позволил бы еще больше «усилить роль» этих больших, но маловероятных возможных значений. Вот почему оказывается целесообразным рассматривать математическое ожидание целой положительной степени случайной величины (не только дискретной, но и непрерывной).

Начальным моментом порядка случайной величины называют математическое ожидание величины :

В частности,

Пользуясь этими моментами, формулу для вычисления дисперсии , можно записать так:

(*)

Кроме моментов случайной величины целесообразно рассматривать моменты отклонения .

Центральным моментом порядка случайной величины называют математическое ожидание величины

В частности,

	(**)
	(***)

Легко выводятся соотношения, связывающие начальные и центральные моменты. Например, сравнивая (*) и (***), получим

Нетрудно, исходя из определения центрального момента и пользуясь свойствами математического ожидания, получить формулы:

Моменты более высоких порядков применяются редко.