- •По теме «Плоское движение твёрдого тела»
- •Степени свободы твердого тела
- •Вращательное движение твердого тела вокруг оси. Угловая скорость и угловое ускорение
- •Равномерное и равнопеременное вращения
- •Скорости и ускорения точек вращающегося тела.
- •2. Ускорения точек тела. Для нахождения ускорения точки м воспользуемся формулами , .
- •Вращение тела вокруг неподвижной точки
- •1) Углы Эйлера. Уравнения вращения тела с одной неподвижной точкой.
- •2) Теорема Даламбера – Эйлера. Мгновенная ось вращения.
- •3) Скорость точек тела.
- •4) Ускорение точек тела.
Вращение тела вокруг неподвижной точки
Название такого вида движения довольно точно его определяет. Часто это движение называют сферическим движением потому, что все точки тела движутся по сферическим поверхностям.
Наглядным примером такого движения является волчок, закономерности движения которого лежат в основе гироскопических приборов.
1) Углы Эйлера. Уравнения вращения тела с одной неподвижной точкой.
Рис. 9.5.
Рис. 9.5.
Положение тела определяется тремя углами. Используются различные системы углов. Например, корабельные углы, самолётные углы и др. Но самыми распространёнными являются углы Эйлера: (пси), (тета), (фи).
Положение тела определяется следующим образом. Назначаются две системы декартовых осей. Первая система – неподвижные оси . Начало которых берётся в неподвижной точке тела (рис. 20). Вторая система, оси , связывается с телом. Поэтому положение тела будет определяться как положение этих осей относительно неподвижных.
Рис.20
Рис. 9.4.
Рис. 9.5.
Когда углы Эйлера равны нулю, подвижные оси совпадают с неподвижными. Чтобы определить положение тела, соответствующее заданным углам Эйлера, производим следующие действия. Сначала подвижные оси, а значит и тело, поворачиваем на угол вокруг оси . При этом оси и отойдут от осей и в горизонтальной плоскости и ось займёт положение (рис.20). Затем тело вращаем вокруг нового положения оси (прямой ) на угол . Ось отойдёт от оси на этот угол , а ось приподнимется над горизонтальной плоскостью. Наконец, тело (и подвижные оси) вращаем вокруг нового положения оси на угол . Ось отойдёт от положения в наклонной плоскости, перпендикулярной оси . Это положение тела и будет соответствовать углам Эйлера (на рисунке само тело не показано).
Линия пересечения неподвижной плоскости и подвижной , прямая , называется линией узлов. Угол называется углом прецессии, угол – углом нутации, угол – углом собственного вращения. Эти названия углов пришли из теории гироскопов.
При движении тела углы Эйлера изменяются по определённым законам которые называются уравнениями вращения.
На примере вращающегося волчка можно лучше разобраться в этих углах Эйлера (рис.21). Ось волчка описывает конус вокруг неподвижной оси . Это вращение определяется углом (говорят: волчок совершает прецессию). Отклонение оси волчка от вертикали – угол нутации .
А вращение волчка вокруг своей оси , определяемое углом – собственное вращение.
Рис.21
2) Теорема Даламбера – Эйлера. Мгновенная ось вращения.
Проведём в теле сферическую поверхность произвольного радиуса с центром в неподвижной точке (рис.22).
Рис.22
Покажем у тела какие-нибудь две точки и , расположенные на этой сфере. Соединим их по сфере дугой наибольшего радиуса (кратчайшее расстояние между точками). Переместим тело в новое положение. Точки, а значит и дуга, займут положение и . Соединим точки и и дугами большого радиуса и . Посередине этих дуг проведём им перпендикулярные дуги и найдём их точку пересечения . Соединим эту точку с точками . Получим два сферических треугольника и , расположенных на этой сфере. Эти два треугольника равны, как треугольники с равными сторонами ( , а и – как дуги равноудалённые от перпендикуляров). Так как эти два треугольника расположены на одной сфере и имеют общую вершину , то их можно совместить поворотом сферы, а значит и тела, вокруг прямой .
Поэтому можно сделать вывод, что тело с одной неподвижной точкой можно переместить из одного положения в другое поворотом вокруг некоторой оси, проходящей через неподвижную точку . Это утверждение – есть теорема Даламбера-Эйлера.
Рис. 9.7.
Конечно, такое перемещение не является истинным движением тела. На самом деле тело переходило из первого положения в другое каким-то другим, наверное более сложным путём. Но, если время такого перехода мало, то это перемещение будет близко к действительному. А при можно предположить, что для данного момента времени тело поворачивается вокруг некоторой оси Р, проходящей через неподвижную точку , вращаясь вокруг неё с угловой скоростью . Конечно, для каждого другого момента времени эта ось расположена иначе. Поэтому ось называют мгновенной осью вращения, а угловую скорость – мгновенной угловой скоростью, вектор которой направлен по оси.
Рис. 9.8.