Тема 2: «Невосстанавливаемые и восстанавливаемые объекты. Характеристика отказов, оценка показателей надежности».

Учебные вопросы:

1. Исследование невосстанавливаемых объектов и технических систем.

2. Исследование восстанавливаемых объектов и технических систем.

3. Определение характеристик отказов, оценка показателей надежности

Цель работы:

Исследование невосстанавливаемых и восстанавливаемых объектов и технических систем. Определение характеристик отказов, оценка показателей надежности

Задачи работы:

1. Определение характеристик невосстанавливаемых и восстанавливаемых объектов и технических систем.

2. Определение характеристик отказов.

3. Оценка показателей надежности.

4. Основная часть

4.1 Общие теоретические сведения.

Показатели надежности восстанавливаемых систем.

Все состояния системы S можно разделить на подмножества:

SK S – подмножество состояний j = , в которых система работоспособна;

S_M S – подмножество состояний z = , в которых система неработоспособна.

S = S_K S_M ,

S_K S_M = 0.

1. Функция готовности Г(t) системы определяет вероятность нахождения системы в работоспособном состоянии в момент t

 где Pj(t) – вероятность нахождения системы в работоспособном j-м состоянии;

Pz(t) – вероятность нахождения системы в неработоспособном z-м состоянии.

2. Функция простоя П(t) системы

 

 

3. Коэффициент готовности kг.с. системы определяется при установившемся режиме эксплуатации (при t ). При  t устанавливается предельный стационарный режим, в ходе которого система переходит из состояния в состояние, но вероятности состояний уже не меняются

 Коэффициент готовности kг.с. можно рассчитать по системе (2) дифференциальных уравнений, приравнивая нулю их  левые части   dP_i(t)/dt = 0, т.к.    P_i = const при t . Тогда система уравнений (2) превращается в систему алгебраических уравнений вида:

  (3)

 и коэффициент готовности:

 

 есть предельное значение функции готовности при установившемся режиме t .

4.  Параметр потока отказов  системы

  (4)

где _jz – интенсивности (обобщенное обозначение) переходов из работоспособного состояния в неработоспособное.

5. Функция потока отказов

  (5)

 

6. Средняя наработка между отказами на интервале t

  (6)

На рис. приведено изменение вероятности нахождения объекта в работоспособном состоянии.

 

 

Рис. 1

Анализ изменения P₀(t) позволяет сделать выводы:

1) При мгновенном (автоматическом) восстановлении работоспособности          ( = )

/ = 0  и   P0(t) = 1.

 2) При отсутствии восстановления ( = 0)

  / =   и   P0(t) = e^{- t},

и вероятность работоспособного состояния объекта равна ВБР невосстанавливаемого элемента.

Некоторые дополнения по применению метода дифференциальных уравнений для оценки надежности.

Метод дифференциальных уравнений может быть использован для расчета показателей надежности и невосстанавливаемых объектов (систем).

В этом случае неработоспособные состояния системы являются «поглощающими» и интенсивности выхода из этих состояний исключаются.

Для невосстанавливаемого объекта граф состояний имеет вид:

 

Система дифференциальных уравнений:

Начальные условия: P₀ (0) = 1; P₁(0) = 0.

Изображение по Лапласу первого уравнения системы:

 

После группировки:

 откуда

Используя обратное преобразование Лапласа, оригинал вероятности нахождения в работоспособном состоянии, т. е. ВБР к наработке t:

1. ВОССТАНАВЛИВАЕМЫЕ ОБЪЕКТЫ

Под восстановлением объекта понимается не только ремонт той или иной его части, но в ряде случаев и полная его замена или замена частей. Действительно, для пользователя, заинтересованного в выполнении определенных заданных функ­ций, совершенно неважно, восстанавливается работоспособность непосредственно ремонтом объекта или заменой его на совершенно другое работоспособное. (В ка­честве примера можно привести использование транспортного средства из общего парка аналогичных средств для выполнения регулярных рейсов по определенно­му маршруту.)

Для показателей надежности приводятся две формы представления: вероят­ностная и статистическая. Вероятностная форма обычно бывает удобнее при апри­орных аналитических расчетах надежности, статистическая — при эксперимен­тальном исследовании надежности технических объектов. Кроме того, оказывает­ся, что одни показатели лучше интерпретируются в вероятностных терминах, а другие — в статистических.

Для простоты пояснения статистических показателей надежности невосстанав­ливаемых объектов будем рассматривать только такую схему испытаний или эксп­луатации этих объектов, при которой несколько образцов работают до отказа. В этом случае статистические показатели допускают простое частотное толкова­ние. Кроме того, с ростом числа испытываемых объектов статистические показате­ли будут сходиться в пределе (по вероятности) к аналогичным вероятностным по­казателям.

Процесс эксплуатации объекта с восстановлением можно представить как по­следовательность интервалов работоспособности £_г, чередующихся с интервалами простоя y\i, т. е. Ј_lt -гц, £₂> Л2. ••• Математической моделью процесса эксплуата­ции объекта может явиться соответствующий случайный процесс.

Для объектов с восстановлением характерен специфический вид случайного процесса, описывающего функционирование их во время эксплуатации. Ос­новная особенность этого случайного процесса заключается в том, что в общем случае распределения Р_г (t), F₂ (t)_t... 'соответствующих случайных величин Ј_lf £₂,... могут быть отличны друг от друга. Это объясняется тем, что в очередной мо­мент начала работы после восстановления объект характеризуется вполне опреде­ленным начальным состоянием. В дальнейшем рассматривают в основном либо характеристики объектов до первого отказа, либо стационарные характеристики. Под стационарными характеристиками будем понимать характеристики соответст­вующих стационарных случайных процессов. В этом случае начальные состояния оказываются одинаковыми в вероятностном смысле, т. е. случайные величины £_л, £ь₊₁ и т. д. имеют для всех k одинаковые распределения F_h (t) — F (i). Аналогич­но и случайные величины г^, т|₂,... могут иметь различные распределения, однако всюду (если это не будет оговорено особо) будем полагать их эквивалентными слу­чайными величинами с распределением G (/). (Через g (t) будем обозначать плот­ность распределения G (/), если она существует.)

Практически во всех случаях будем полагать, что чередующиеся величины £/ и t\i взаимно независимы, а распределение каждой из них не зависит от номера i, т. е. будем изучать случайный процесс {£, т)}, который в теории восстановле­ния носит название альтернирующего.

Для восстанавливаемых объектов приводятся только дополнительные пока­затели надежности. Все показатели для невосстанавливаемых объектов также могут быть применимы для характеристики восстанавливаемых объектов, повтор­но они не приводятся.

Введем дополнительные обозначения: g (t) — плотность распределения G (t); G (t) = Р {к\ < /} — распределение времени восстановления; п (t, t') — число объектов, неработоспособных в момент / или отказавших хотя бы один раз в интервале [/, /']; п_в (t) — число объектов, восстановление которых длилось меньше t', N (t, t') — число объектов, работоспособных в момент t и не прора­ботавших безотказно до /'; Л/„ (t) — число объектов, восстановление которых длилось больше /; t^ — произвольный «достаточно удаленный» момент времени, соответствующий стационарному режиму случайного процесса; Дп„ (/, t') — число объектов, восстановление которых длилось больше /, но меньше t'; Ј_ft — случайное время работы (случайная наработка) объекта перед /г-м отказом (пос­ле (k — 1)-го восстановления); ^ — реализация £/, для 1-го объекта; т)_Л — случайное время восстановления (простоя) объекта после /г-го отказа; т]⁽'> — i-я реализация времени восстановления.

1. Средняя наработка между отказами.

а. Вероятностное определение

т. е. Т — математическое ожидание предельного значения наработки между отказами для стационарного процесса.

Здесь.7\ — средняя наработка объекта от момента окончания (k—1)-го восстановления до /г-го отказа, определяемая как

т. е. T_h — математическое ожидание (среднее значение) наработки объекта от момента окончания (k — 1)-го отказа, б. Статистическое определение