3.5 Знакоопределенные квадратичные формы. Критерий Сильвестра
Определение. Квадратичная
форма
называется положительно определенной,
если
для любого
.
Квадратичная форма
называется неотрицательно определенной,
если
для любого
.
Квадратичная форма
называется отрицательно определенной,
если
для всех
.
Квадратичная форма называется неположительно определенной, если для всех .
Очевидно, что если форма – отрицательно (не положительно) определенная, то форма - – положительно (не отрицательно) определена, потому мы будем интересоваться условиями положительной и неотрицательной определенностей.
Квадратичная форма обладающая одним из перечисленных свойств, называется знакоопределенной в противном случае – знаконеопределенной.
Примеры.
1.
– положительно определена в
,
так как
для всех
.
2.
– не отрицательно определена в
,
так как
,
причем
на любом векторе
,
для которого
.
3.
– не является знакоопределенной, так
при
,
а при
.
Важно уметь определять “знак” формы. Не всегда это легко сделать по виду формы. Сформулируем без доказательства теоремы:
Теорема 1. Квадратичная форма положительно определена тогда и только тогда, когда все собственные числа ее матрицы положительны.
Квадратичная форма неотрицательно определена тогда и только тогда, когда все собственные числа ее матрицы не отрицательны. Так например, квадратичная форма
положительно определена,
так как собственные
числа ее матрицы
положительны
(см. пример 2, п. 1.2, гл. 1).
Другой способ определения “знака” квадратичной формы не требует вычисления корней характеристического многочлена. Дана матрица
.
Рассмотрим n ее миноров
,
,
,…,
.
Миноры
будем называть угловыми минорами
матрицы А.
Теорема 2. (Критерий Сильвестра). Квадратичная форма положительно определена тогда и только тогда, когда все угловые миноры матрицы А положительны.
Пример 1. .
.
Угловые миноры:
,
,
,
следовательно, по критерию Сильвестра
форма
положительно определена.
Пример 2.
.
.
Угловые миноры:
,
,
.
Форма положительно определена.
Критерий Сильвестра не работает для выяснения неотрицательной определенности квадратичной формы.
Введем вспомогательные понятия. Определим главный минор порядка k матрицы А с помощью следующей процедуры:
– выбираем произвольные k элементов на главной диагонали;
– берем строки и столбцы, содержащие эти элементы;
– выписываем матрицу k-го порядка, элементы которой расположены на пересечении выделенных строк и столбцов. Определитель этой матрицы есть главный минор k-го порядка матрицы А, определяемый выбранным набором диагональных элементов.
Например, матрица 3-го порядка
имеет
1) три главных минора 1-го порядка
(диагональные элементы);
2) три главных минора 2-го порядка
,
,
;
3) один главный минор 3-го порядка –
определитель матрицы
.
Теорема 3. Квадратичная форма неотрицательно определена тогда, когда все главные миноры матрицы А неотрицательны.
Пример 3.
.
.
Угловые миноры:
,
,
.
По теореме 2 форма не является положительно определенной. Проверим знаки главных миноров матрицы А.
Главные миноры:
1) первого порядка: 1>0, 2>0, 2>0;
2) второго порядка:
,
,
;
3) минор третьего порядка:
,
следовательно, квадратичная форма
неотрицательно определена.
В заключение покажем, как из критерия
Сильвестра можно получить условие
отрицательной определенности квадратичной
формы. Пусть форма
– отрицательно определена, тогда
форма
положительно определена, и угловые
миноры матрицы –А
положительны. Выпишем их для матрицы
, тогда
.
Выпишем угловые миноры матрицы А:
;
;
.
Итак, квадратичная форма
отрицательно определена, если знаки ее
угловых миноров чередуются, причем
первый из них
;
;
;
и т.д.
Пример 4.
.
;
угловые миноры:
;
;
.
Следовательно форма – отрицательно определена.