- •Часть II
- •Оглавление
- •Дидактический план
- •Литература*
- •Перечень умений
- •Тематический обзор*
- •1 Собственные числа и собственные векторы матрицы
- •1.1 Определение. Основные свойства собственных векторов
- •1.2 Характеристический многочлен
- •1.3 Собственное подпространство
- •2 Приведение симметричной матрицы к диагональному виду
- •2.1 Скалярное произведение в пространстве Rn. Процесс ортогонализации
- •2.2 Ортогональная матрица
- •2.3 Собственный базис симметричной матрицы
- •3 Квадратичная форма. Приведение к каноническому виду
- •3.1 Основные определения. Матрица квадратичной формы
- •3.2 Преобразование матрицы при линейной замене переменных
- •3.3 Приведение квадратичной формы к каноническому виду ортогональным преобразованием
- •3.4 Приведение кривой второго порядка к каноническому виду
- •3.5 Знакоопределенные квадратичные формы. Критерий Сильвестра
- •4 Линейные пространства
- •4.1 Определение линейного пространства
- •4.2 Линейная зависимость
- •4.3 Базис и координаты. Размерность пространства
- •4.4 Матрица перехода
- •4.5 Подпространство
- •4.6 Евклидовы пространства
- •3. Теорема Пифагора и ее обобщение.
- •5 Линейные операторы
- •5.1 Определение и примеры
- •5.2 Матрица линейного оператора
- •5.3 Самосопряженный оператор
- •Приложение 1 Перпендикуляр из точки на пространство
- •Приложение 2 о приближенном вычислении собственных значений матрицы
- •Задания для самостоятельной работы
- •1.Решите самостоятельно следующие задачи (номер варианта совпадает с вашим номером в списке группы):
- •Тренинг умений
- •1 Пример выполнения упражнения тренинга на умение № 1
- •2 Пример выполнения упражнения тренинга на умение № 2
- •3 Пример выполнения упражнения тренинга на умение № 3
- •4 Пример выполнения упражнения тренинга на умение № 4
- •5 Пример выполнения упражнения тренинга на умение № 5
- •6 Пример выполнения упражнения тренинга на умение № 6
- •7 Пример выполнения упражнения тренинга на умение № 7
- •8 Пример выполнения упражнения тренинга на умение № 8
- •9 Пример выполнения упражнения тренинга на умение № 9
- •10 Пример выполнения упражнения тренинга на умение № 10
- •11 Пример выполнения упражнения тренинга на умение № 11
- •12 Пример выполнения упражнения тренинга на умение № 12
- •13 Пример выполнения упражнения тренинга на умение № 13
- •Глоссарий
- •Линейная алгебра с элементами аналитической геометрии юнита 3
- •Часть II
3. Теорема Пифагора и ее обобщение.
Пусть х и у ортогональные векторы, тогда естественно считать диагональю прямоугольника со сторонами х и у. Покажем, что , т.е. что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
Действительно, по определению . Используя аксиомы 2, 1 и ортогональность х и у, получаем
,
что требовалось доказать.
Вообще, если взаимно ортогональны и , то . Если же х и у произвольные векторы, то по аналогии с элементарной геометрией – третья сторона треугольника, построенного на х и у. Используя неравенство Коши-Буняковского, получаем
,
,
т.е. длина любой стороны треугольника не больше, чем сумма длин двух других сторон и не меньше, чем модуль разности длин этих сторон.
.
Расстоянием между двумя точками х и у евклидова пространства называется длина вектора :
.
Ортогональный базис. В произвольном линейном пространстве не было оснований предпочитать одни базисы другим, там все базисы были равноправны. В евклидовом пространстве существуют более удобные базисы – ортогональные; они играют здесь ту же роль, что и прямоугольные системы координат в аналитической геометрии.
Мы докажем теперь теорему о существовании в произвольном евклидовом пространстве базиса из взаимноортогональных векторов. Более того, нас будет интересовать ортогональный нормированный базис, т.е. такой базис , в котором векторы попарно ортогональны и имеют каждый единичную длину
. (*)
Докажем лемму.
Лемма 1. Взаимно ортогональные ненулевые векторы линейно независимы, т.е. что равенство
(**)
возможно лишь при .
Действительно, умножим обе части равенства (**) скалярно на . Получим:
.
Но по условию , , при . Следовательно . Аналогично, умножая (**) скалярно на , получим .
Теорема. Во всяком n-мерном евклидовом пространстве существует ортогональный нормированный базис.
Мы уже подробно рассматривали как строить ортогональную систему векторов в пространстве (процесс ортогонализации). Покажем для примера, как получить ортогональную систему функций в пространстве полиномов степени в .
Пусть . Будем искать . Из условия ортогональности и получаем . Потребуем, чтобы сумма коэффициентов многочлена равнялась единице (что равносильно равенству единице значения многочлена при t=1).
, , , .
Пусть теперь . Тогда
, и .
Отсюда получим , , , и .
Получили ортогональную систему полиномов:
, , .
Действуя аналогично, можем получить ортогональную систему многочленов степени при любом конечном n на отрезке .
Такую систему многочленов называют полиномами Лежандра. Полиномы Лежандра обладают многими замечательными свойствами и находят широкое применение в приложениях.
В евклидовом пространстве рассматривается задача о проекции произвольного вектора на некоторое подпространство W V и доказывается теорема о том, что каждый вектор может быть разложен в прямую сумму двух векторов, один из которых есть вектор подпространства W, а другой принадлежит ортогональному дополнению W. Подробнее об этой задаче можно прочесть в Приложении.