28. Порівняння дисперсії нормальної генеральної сукупності з гіпотетичною дисперсією. Пошук критичних областей в залежності від альтернативної гіпотези. Приклади.

28. 6.1 Додаток С. За вибіркою перевіримо гіпотезу про рівність дисперсії генеральної сукупності гіпотетичному значенню, рівень значущості , при цьому .

Висуваємо гіпотезу:

.

За критерій вибираємо випадкову величину:

,

яка, у разі справедливості, має розподіл Пірсона з степенями свободи. Спостережуване значення критерію:

.

1) Висуваємо альтернативну гіпотезу: , тобто шукаємо правобічну критичну область. Критичну точку знаходимо за таблицею розподілу Пірсона:

.

В результаті маємо . Отже, приймається.

2) Висуваємо альтернативну гіпотезу: , тобто шукаємо лівобічну критичну область. Критичну точку знаходимо за таблицею розподілу Пірсона:

В результаті маємо . Отже, приймається.

3) При альтернативній гіпотезі: розглядаємо двобічну критичну область. Критичні точки знаходимо за таблицею розподілу Пірсона:

;

В нашому випадку потрапляє до знайденого інтервалу: , тобто приймається.

29. Порівняння математичного сподівання генеральної сукупності з гіпотетичним математичним сподіванням, якщо дисперсія відома. Приклади.

29. За вибіркою перевіримо гіпотезу про рівність математичного сподівання гіпотетичному значенню при заданому рівні значущості , при цьому , якщо:

А) дисперсія генеральної сукупності відома ;

Б) дисперсія невідома.

Висуваємо гіпотезу:

6.2.1 Для відомої дисперсії за критерій вибираємо випадкову величину:

,

яка, у разі справедливості даної гіпотези, має нормальний розподіл. Спостережуване значення критерію:

.

1) Висуваємо альтернативну гіпотезу: , маємо правобічну критичну область, критичну точку шукаємо за таблицею нормального розподілу:

, звідси .

В результаті , відхиляється.

2) При альтернативній гіпотезі , маємо лівобічну критичну область, критичну точку шукаємо за таблицею нормального розподілу:

, звідси

Спостережуване значення критерію належить області прийняття гіпотези: , отже приймається.

3) Висуваємо альтернативну гіпотезу і маємо двобічну симетричну область, критичну точку шукаємо за таблицею нормального розподілу:

, звідси

Висновок: , відхиляється.

30. Порівняння математичного сподівання генеральної сукупності з гіпотетичним математичним сподіванням, якщо дисперсія невідома. Приклади.

30. За вибіркою перевіримо гіпотезу про рівність математичного сподівання гіпотетичному значенню при заданому рівні значущості , при цьому , якщо:

А) дисперсія генеральної сукупності відома ;

Б) дисперсія невідома.

Висуваємо гіпотезу:

6.2.2 Для невідомої дисперсії за критерій вибираємо випадкову величину:

,

яка, у разі справедливості, має розподіл Стьюдента з степенями свободи. Спостережуване значення критерію:

.

1) При альтернативній гіпотезі: , критична область – правобічна. Критична точка шукається за таблицею розподілу Стьюдента для однобічної області та рівня значущості :

.

, тому відхиляється.

2) Висуваємо альтернативну гіпотезу , критична область – лівобічна. Критична точка шукається за таблицею розподілу Стьюдента для однобічної області та рівня значущості :

В цьому разі, , тобто приймається.

3) При альтернативній гіпотезі , критична область – двобічна симетрична. Критична точка шукається за таблицею розподілу Стьюдента для двобічної області та рівня значущості :

.

, тому відхиляється.