Питання до іспиту

1. Множини. Основні поняття та означення.

Множина – це сукупність різноманітних об’єктів об’єднаних за деякими ознаками (сукупність, клас, табун, колекція). Об’єкти довільної природи, що утворюють множину називаються її елементами. Множини позначають великими латинськими літерами A,B,C , а їх елементи малими.

Зауваження – елементи множини можна записувати в будь-якому порядку, головне не втратити жодного і не записати зайвого.

Зауваження(2) – один і той самий елемент у множині записується один раз.

2. Способи задання множин.

Множина вважається заданою, якщо про будь-який об’єкт можна сказати , належить він цій множині , чи ні.

Множину можна задати простим переліком елементів.

M={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}.

Множину можна задати за допомогою характеристичної властивості: тобто властивості яку мають елементи даної множини і тільки вони .

S={2,4,6,8}={x | x=2n , n ϵ N}.

Можна задати множину завдяки породжувальної процедури (алгоритму) , що описує спосіб отримання елементів множини із уже існуючих елементів :

2 ϵ S, x ϵ S : y=x+2;

X1=2, x2=x1+2, x3=x2+2, xn+1=xn+2;

3. Скінченні та нескінченні множини. Зчисленні та незчисленні множини. Теорема Кантора

Множина називається скінченною, якщо вона містить скінчене число елементів. Число елементів скінченої множини А , позначають наступним чином |A|.

Множина називається нескінченою, якщо вона містить нескінченну кількість елементів.

4. Круги Ейлера-Венна. Операції над множинами. Навести приклади.

Це геометрична схема за допомогою якої відображають множини, а їх відношення у вигляді перетину геометричних фігур (кругів ) у прямокутнику (універсумі).

5. Універсальна множина, порожня множина. Привести приклади універсуму і порожньої множини.

Універсальна множина (універсум) — в теорії множин така множина U, для якої перетин цієї множини з будь-якою множиною X збігається з цією множиною X. Універсальна множина єдина.

Таким чином, будь-яка множина X повністю міститься в універсальній множині U. Виходячи з цього можна дати таке визначення універсальної множини: якщо в рамках деякої задачі розглядаються тільки підмножини деякої фіксованої множини U, то сама ця множина U називається універсальною множиною.

Порожня множина в математиці — множина, яка не містить жодного елемента. Така множина позначається як Ø або {}.

6. Порожня множина. Обґрунтуйте необхідність використання порожньої множини. Чи завжди будь-яка множина містить у собі порожню множину?

Наприклад, якщо досліджується множина об'єктів, які повинні задовольняти певній властивості, і в подальшому з'ясовується, що таких об'єктів не існує, то зручніше сказати, що шукана множина порожня, ніж оголосити її неіснуючою. Порожню множину можна означити за допомогою будь-якої суперечливої властивості, наприклад: Ø = {x|x≠x} тощо. Разом із тим, твердження множина M — не порожня можна замінити рівносильним йому твердженням існують елементи, які належать множині M. Будь яка множина містить порожню.