3. Развитие и основные концепции математики

Ясное представление о математике как самостоятельной науке возникло в Древней Греции в VI-V вв. до н.э. Именно в это время завершился период ее зарождения и начался период элементарной математики, продолжившийся до XVI века н.э. Древнейшие математические науки – арифметика (наука о числа, прежде всего натуральных чисел).

До начала XVII в. математика – преимущественно наука о числах, скалярных величинах и простых геометрических фигурах; изучаемые ею величины (длины, площади, объемы и пр.) рассматриваются как постоянные. К этому периоду относится возникновение арифметики, геометрии, позднее – алгебры (науки о буквенном исчислении) и тригонометрии (науки о функциях углов и их приложениях к геометрии), а также некоторых частных приемов математического анализа. Областью математики является счет предметов, торговля (коммерческие расчеты), землемерные работы, навигация, астрономия, отчасти архитектура.

В XVII и XVIII вв. потребности бурно развивавшегося естествознания и техники (мореплавания, астрономии, баллистики, гидравлики и т.д.) привели к введению в математику идей движения и изменения, прежде всего в форме переменных величин и функциональной зависимости между ними, необходимости создания методов, преобразования геометрических фигур. Это повлекло создание аналитической геометрии, дифференциального и интегрального исчислений. Начинается период математики переменных величин. «Поворотным пунктом в математике была Декартова переменная величина. Благодаря этому в математику вошли движение и тем самым диалектика, и благодаря этому стало немедленно необходимым дифференциальное и интегральное исчисление …», – отмечал Ф. Энгельс в «Диалектике природы». На первый план выдвигается понятие функции, которая начинает играть такую же существенную и самостоятельную роль, какую ранее играли понятия величины и числа. Принципиально изменяется отношение геометрии к остальной математике (найден универсальный способ перевода геометрии на язык алгебры и открылась перспектива графического изображения алгебраических и аналитических зависимостей). Открыты логарифмы. Развивается учение о бесконечных рядах. В связи с созданием координатного метода и наличием представлений о скорости и ускорения как направленных величинах понятие отрицательного числа приобрело наглядность и ясность. Стало понятным, что законы природы выражаются дифференциальными уравнениями, и для предсказание хода описываемых этими уравнениями процессов необходимо интегрирование последних. Наряду с аналитической геометрией интенсивно развивается дифференциальная геометрия (изучение геометрических образов на основе метода координат средствами дифференциального исчисления). В XVII в. приобретает характер систематической науки теория чисел, изучаются мнимые и комплексные числа, заложены основы исчисления конечных разностей, найдены общие методы решения разностных уравнений. Открыта формула разложения произвольной функции в степенной ряд, заложены основы исследования эллиптических интегралов, развивается общая теория дифференциальных уравнений любого порядка и общая теория дифференциальных уравнения в частных производных, возникает вариационное исчисление (нахождение наибольших и наименьших значений переменных величин, зависящих от выбора одной или нескольких функций), окончательную форму приобретает начертательная геометрия. В XVII и XVIII вв. закладываются также основы теории вероятностей.

В XIX-XX вв. математика поднимается на новые ступени абстракции. Обычные величины и числа оказываются лишь частными случаями объектов, изучаемых в современной алгебре. Разработаны основы теории функций комплексного переменного, проективная геометрия, открыта и введена в употребление геометрическая интерпретация комплексных чисел, доказана неразрешимость в радикалах алгебраических уравнений пятой степени и дается окончательный ответ о разрешимости в радикалах алгебраических уравнений любой степени, разрабатывается теория групп, теория множеств, математическая логика, функциональный анализ, формируется векторное и тензорное исчисление, развивается математическая логика. Теоретико-групповой анализ становится мощным средством исследования в физике, начинают приобретать остроту вопросы обоснования математики. Теоретико-множественная концепция рассматривается как основа строения любой математической теории.

Геометрия переходит под влиянием идей Н.И. Лобачевского к исследованию “пространств”, частным случаем которых является евклидово пространство, создается неевклидова геометрия.

Практическое освоение результатов теоретического математического исследования требует получения ответа на поставленную задачу в числовой форме. В связи с этим в 19-20 вв. численные методы математики вырастают в самостоятельную ее ветвь – вычислительную математику.

Стремление упростить и ускорить решение ряда трудоемких задач привело к созданию вычислительных машин. Потребности развития самой математики, “математизация ” различных областей науки, проникновение математических методов во многие сферы практической деятельности, быстрый прогресс вычислительной техники привели к появлению целого ряда новых математических дисциплин (например, теория игр, теория информации, теория графов, дискретная математика, теория оптимального управления и др.).

Для исследования сложных линейных систем создаются методы операционного исчисления. При изучении нелинейных систем с малой нелинейностью широко используется метод разложения по параметру. Продолжает разрабатываться аналитическая теория дифференциальных уравнений, но основное внимание уделяется разработке их качественной теории (особые точки, устойчивость решений и др.). Это стало отправным пунктом для исследований по топологии многообразий, теории нелинейных динамических систем.

В ХХ веке создаются основы теории случайных процессов, и дается, как принято считать, окончательная форма аксиоматического изложения теории вероятностей, исходящая из аналогий между понятием вероятности и понятием меры в теории функций действительного переменного.