3.2.6. Показательные и логарифмические неравенства

Рассмотрим неравенство и неравенство, ему равносильное: Для его решения исследуем знак разности Итак, выясним, что следует из того, что

1) Если a > 1, то  f (x) > g (x), а это значит, что (a – 1)(f (x) – g (x)) > 0.

2) Если 0 < a < 1, то  f (x) < g (x), и опять (a – 1)(f (x) – g (x)) > 0.

Верно и обратное. Если то при имеем то есть а при получаем то есть

Таким образом, мы доказали, что:

Знак разности совпадает со знаком выражения

А это как раз обозначает, что получено условие равносильности:

Пример 1

Решить неравенство

Решение

Имеем: Заменим выражение вида стоящее в каждой скобке, на выражение имеющее с ним тот же знак: А значит, Равносильное неравенство имеет вид   так как для всех x. Решая это неравенство методом интервалов, получаем Ответ.

Пример 2

Решите неравенство

Решение

Преобразуем неравенство: От выражений вида перейдём к выражениям которые имеют тот же знак. Ответ.

Рассмотрим теперь неравенство и найдём соответствующие ему условия равносильности. ОДЗ этого неравенства: f (x) > 0.

Если a > 1, то тогда и только тогда, когда f (x) > 1 в ОДЗ (f (x) < 1), то есть

Если 0 < a < 1, то тогда и только тогда, когда f (x) < 1 в ОДЗ (f (x) > 1), то есть опять

Верно и обратное, если то при a > 1 имеем f (x) > 1 в ОДЗ (f (x) < 1), а при 0 < a < 1 имеем f (x) < 1 в ОДЗ (f (x) > 1). Таким образом, получаем следующие условия равносильности.

Отсюда следует, что:

Знак   совпадает со знаком выражения   в ОДЗ (f (x) > 0).

Рассмотрим теперь неравенство вида где ОДЗ этого неравенства:

Перепишем данное неравенство в виде:

loga (f (x) – g(x)) > 0.

С учетом ОДЗ можно записать соответствующую неравенству систему уравнений:

нак разности логарифмов   совпадает со знаком выражения   в ОДЗ 

Пример 3

Решите неравенство

Решение

Преобразуем неравенство. От выражений вида перейдём к произведениям которые имеют с ними тот же знак в ОДЗ. Пользуясь методом интервалов, легко получить: Ответ.

Пример 4

Решите неравенство

Решение

Перейдём во всех логарифмах к основанию 2. Переходя к равносильной системе, заменим разность логарифмов в фигурных скобках на выражение, которое имеет с ним тот же знак в ОДЗ. Кроме того, заменим логарифм, стоящий до фигурной скобки, на выражение, с которым он совпадает по знаку в ОДЗ. Так как в ОДЗ выполнено неравенство то С учётом сделанного замечания, последняя система в ОДЗ равносильна следующему уравнению: Так как в ОДЗ x > 0, то знак выражения совпадает со знаком функции Нанесем решения всех неравенств на числовую прямую и найдем пересечение полученных областей с ОДЗ. Получим: Ответ.