8. Цепи с распределенными параметрами

Электромагнитные волны распространяются с конечной скоростью. Это придает процессам, происходящим в электрических цепях, волновой характер, т.е. токи и напряжения в электрической цепи оказываются зависящими не только от времени t, но и от координаты сечения цепи x, т.е. U(x,t); i(x,t).

Если >>L, то участки цепи, состоят из элементов, обладающих только одним свойством, и называются цепями с сосредоточенными параметрами, где  = сТ = с/f – длина электромагнитной волны. Это расстояние между двумя точками, фазы колебаний в которых отличаются на 2π. Здесь с – скорость распространения волны; Т – период; f – частота; l – геометрический размер цепи. Все магнитные поля сосредоточены в катушках (L), все электрические поля – в конденсаторах (C), а потери – в резисторах (R).

Если <l, то в цепи невозможно выделить участок, обладающий одним свойством. Каждый участок цепи обладает одновременно свойствами R, L, C-элементов, т.е. параметры элементов как бы распределены по всему участку цепи. Такие цепи называют цепями с распределенными параметрами.

На частоте f = 1 кГц цепь длины l = 30÷40 км является цепью с распределенными параметрами. А на частоте f = 1 ГГц цепь длиной l = 2÷3 мм также является цепью с распределенными параметрами.

Примерами цепей с распределенными параметрами являются:

- воздушно-двухпроводная линия;

- электрический кабель;

- коаксиальный кабель;

- полосковая линия, прямоугольный или круглый волновод и т.д.

Одномерные цепи с распределенными параметрами часто называют длинными линиями.

8.1. Понятие о длинной линии и распространение волн в ней

Рассмотрим воздушную двухпроводную линию, длина которой соизмерима или больше длины электромагнитной волны (рис. 8.1а). При протекании тока по проводам вокруг них возникает магнитное поле Н, что свидетельствует о наличии индуктивности, распределенной вдоль линии. Между проводами возникает электрическое поле, что говорит о емкости. Провода и диэлектрик между проводами нагреваются, что свидетельствует о наличии потерь, т.е. говорит о сопротивлении.

а б Рис. 8.1

Количественно физические параметры длинной линии характеризуются следующими погонными параметрами, т.е. параметрами, приходящимися на единицу длины:

L₀ – погонная индуктивность. Определяется как индуктивность короткозамкнутого отрезка линии длиной 1 м. Единица измерения Гн/м.

R₀ – погонное сопротивление. Определяется как сопротивление короткозамкнутого отрезка проводов длиной 1 м. Единица измерения Ом/м.

C₀ – погонная емкость. Определяется как емкость между проводами разомкнутого на конце отрезка линии длиной 1 м. Единица измерения Ф/м.

G₀ – поперечная проводимость. Определяется как проводимость между проводами, разомкнутыми на конце отрезка линии длиной 1 м. Единица измерения См/м.

Выделим участок длины dx. Его можно представить эквивалентной схемой, приведенной на рис. 8.1б.

Если погонные параметры не зависят от x, то линии называются однородными, если погонные параметры зависят от координаты х, неоднородными. Если R₀ = G₀ = 0, то линию называют линией без потерь.

Составим уравнения, позволяющие определить напряжение и ток в любом сечении длинной линии, для длинной линии без потерь (рис. 8.2). Запишем выражения относительно приращений напряжения и тока:

; (8.1) . (8.2)

Поделим первое и второе уравнение на dx, а затем найдем вторые производные по х и по t:

,

Подставив второе выражение в первое и четвертое в третье, получаем

(8.3а)

(8.3б)

Полученные уравнения для линии без потерь называются волновыми.

Уравнение, полученное аналогично, но с учетом R₀ и G₀, для линий с потерями, называются телеграфными. Они записываются так

(8.4)

Таким образом, изменения напряжения и тока управляются совершенно одинаковыми закономерностями.

Решением волновых уравнений (8.3) может быть любая дважды дифференцируемая функция f₁ вида:

, (8.5)

где – скорость распространения волны, – волновое сопротивление, при подстановке (8.5) в (8.3) волновые уравнения обращаются в тождества.

П о физическому смыслу это решение выражает два возмущения, распространяющихся вдоль линии в противоположных направлениях с постоянной конечной скоростью v₀. Вид функции f определяется граничными условиями, т.е. сигналами, которые подводятся к длинной линии.

Первое слагаемое в (8.5) называется прямой волной, а второе – обратной волной. Прямая волна характеризует сигнал, который распространяется в направлении х, а обратная волна – сигнал, который распространяется в противоположном направлении. Если при x=0 подан импульсный сигнал произвольной формы, он будет распространяться в обе стороны, сохраняя свою форму (рис. 8.3).