2.3 Анализ устойчивости положения равновесия “в малом”.
Для анализа устойчивости положения равновесия воспользуемся первым методом Ляпунова, которое позволяет судить об устойчивости нелинейной системы по линеаризованным уравнениям.
Для устойчивости положения равновесия
необходимо и достаточно, чтобы матрица
линеаризованной системы имела собственное
значение в левой полуплоскости.
Найдем собственные значения матрицы
по команде
.
Объект неустойчив, т.к. имеется одно правое собственное значение. Для стабилизации верхнего положения маятника необходимо создать систему автоматического регулирования.
2.4 Анализ управляемости и наблюдаемости объекта.
Задача синтеза алгоритма управления устройства (регулятора) имеет решение, если объект управляем, т.е. воздействуя на каретку силой f можем изменять все компоненты вектора состояния.
Для анализа управляемости воспользуемся критерием Калмана, который сводится к определению ранга матрицы управляемости U.
Выполним вычисления:
U=ctrb(A,B)
U=
0 5.0000 0 245.0000
0 -5.0000 0 -294.0000
-5.0000 0 -294.0000 0
5.0000 0 245.0000 0
rank(U)
ans =
4
Матрица имеет полный ранг (не особенная, обратимая, определитель отличен от нуля), что означает полную управляемость объекта. Наблюдаемость означает принципиальную возможность вычисления вектора состояния по измерениям положения каретки х.
Для анализа наблюдаемости воспользуемся критерием Калмана, который сводится к проверке ранга матрицы наблюдаемости.
Проверим ранг:
rank(obsv(A,C))
ans =
4
Объект наблюдаем полностью, что является необходимым условием существования решения задачи синтеза наблюдателя состояния. Объект неустойчив, но полностью управляем и наблюдаем.
2.5 Передаточная функция объекта.
Передаточная функция равна отношению изображения по Лапласу выхода объекта к его входу при нулевых начальных условиях.
Для определения передаточной функции используем следующую команду:
[num,den]=ss2tf(A,B,C,D)
num =
0 0.0000 5.0000 -0.0000 -49.0000
den =
1.0000 -0.0000 -58.8000 0 0
Numиden– это коэффициенты числителя и знаменателя ПФ соответственно.
plant=tf(num,den)
Transfer function:
2.218e-014s^3 + 5s^2 - 1.291e-013s- 49
------------------------------------------
s^4 - 2.665e-015s^3 - 58.8s^2
Ошибки вычислений привели к появлению исчезающе малых коэффициентов. Однако некоторые из них привели к завышению степени полинома числителя, что является качественной ошибкой.
Отредактируем коэффициенты полиномов вручную.
num1=[5 0 -49];
den1=[1 0 -58.8 0 0];
plant=tf(num1,den1)
Transferfunction:
5 s^2 - 49
--------------
s^4 - 58.8s^2
Приведем передаточную функцию объекта к факторизованной форме.
zpk(plant)
Zero/pole/gain:
5 (s-3.13) (s+3.13)
-----------------------
s^2 (s-7.668) (s+7.668)
Знаменатель передаточной функции представляет собой характеристический полином, корни которого в точности равны собственным значениям матрицы А.
roots(den1)
ans=
0
0
7.6681
-7.6681