Найпростіші властивості еліпса
Властивість 1. Еліпс має що найменше дві осі симетрії і центр симетрії.
□ Дійсно, якщо точка належить еліпсу в канонічній системі координат, тобто , то і точки , і належать еліпсу. А це означає, що осі координат канонічної системи координат є осями симетрії еліпса, а її початок координат – центром симетрії. ■
Зауваження. Можна показати, що еліпс, який не є колом має рівно дві осі симетрії.
Властивість 2. Еліпс перетинає осі симетрії у чотирьох точках.
□ В канонічній системі координат точки перетину еліпса з осями симетрії знаходяться з рівнянь і і мають, відповідно, координати , , , . ■
Означення. Точки перетину еліпса з осями симетрії називаються вершинами еліпса.
Властивість 3. Еліпс є обмеженою фігурою, він міститься у прямокутнику зі сторонами і .
□ З рівняння еліпса маємо: і , або і . Останні нерівності визначають прямокутник зі сторонами і . ■
Отриманої інформації достатньо, щоб зобразити еліпс у канонічній системі координат, користуючись його властивостями. У I чверті дуга еліпса визначається рівнянням , тобто є графіком деякої функції (рис. 19).
|
|
|
|
Скористувавшись наявністю двох осей симетрії, побудуємо увесь еліпс (рис. 20 і рис. 21). Параметри і називають півосями ( ‑ більшою, ‑ меншою). Вони дорівнюють половинам відстаней між відповідними протилежними вершинами еліпса.
Форму еліпса характеризує параметр . Він є коефіцієнтом стиснення кола, з якого можна отримати еліпс шляхом стиснення або розтягування. Більш зручним у дослідженнях є параметр . Він називається ексцентриситетом еліпса. Ексцентриситет кола дорівнює 0.
Найпростіші властивості гіперболи
Аналогічно можна дослідити властивості гіперболи. Нехай дано рівняння гіперболи , , . Відповідна система координат називаєтьсяканонічною.
Властивість 1. Гіпербола має щонайменше дві осі симетрії і центр симетрії.
Доведення аналогічно наведеному для еліпса. Спробуйте довести, що у гіперболи рівно дві осі симетрії.
Властивість 2. Гіпербола перетинає одну з осей симетрії в двох точках, які називаються вершинами; з другою віссю симетрії гіпербола не перетинається.
□ Точки перетину знаходяться з рівнянь , . Тому вершинами гіперболи в канонічній системі координат є точки , . ■
Властивість 3. Гіпербола має асимптоти, тобто прямі, до яких гіпербола необмежено наближається.
□ Розглянемо гіперболу в канонічній системі координат: . Тоді , а . Якщо набуває великі значення, то мало відрізняється від . Тому відстань від точок гіперболи до прямої , або до прямої , прямує до нуля, якщо точки гіперболи прямують до нескінченності. ■
Побудуємо гіперболу, скориставшись її властивостями. У I чверті дуга гіперболи визначається рівнянням і має вигляд, показаний на рис. 22. Використовуючи осі симетрії гіперболи, отримаємо її повністю (рис. 23 і 24).
Параметри і також називають півосями гіперболи, ‑ дійсною, ‑ уявною. Параметр називається ексцентриситетом. Він характеризує форму гіперболи.